Математика — это для всех! «Репетитор: математика»

О пользе рисования в математике, или вспомогательное моделирование своими руками

Для кого написана эта статья?

Эта статья написана в первую очередь для родителей, которые хотят, чтобы их дети много знали и умели в математике и при этом — не ощущали перегрузок.

Она может быть интересна и педагогам, размышляющим на те же темы: как сделать учение естественным, радостным, а значит — сохраняющим здоровье детей.

Для чего написана эта статья?

Она написана в попытке спасти детей от скучной математики и от перегрузки бесчисленными заданиями "на отработку".

В ней мы обсудим две взаимосвязанные проблемы в обучении детей младшего возраста: как научить счёту и решению арифметических задач, и как при этом сделать учёбу делом радостным, природосообразным, а значит – не несущим перегрузок, не портящим здоровье.

Это — первая статья в группе статей о наглядном вспомогательном моделировании в математике и в ней описаны только начальные действия в этом направлении.

Поговорим о природосообразности возрасту

Педагогам хорошо известно (их этому учат), что в возрасте до десяти, примерно, лет основными типами мышления у большинства детей являются наглядно-действенное и наглядно-образное мышление, при этом формируются начала абстрактного и логического.

То есть, если ребёнку надо сосчитать какое-то количество предметов, или решить арифметическую задачу, в основе которой лежат действия с этими предметами, то ему сначала надо бы увидеть эти предметы в реальности, подержать их в руках, самому совершить действия с ними, а потом, позже, при решении уже другой задачи, увидеть предметы и действия с ними - нарисованными, и только после того, как представления о натуральных числах глубоко присвоены, осмыслены, ребёнок может осознанно считать умозрительно, во внутреннем плане.

Слово "осознанно" выше выделено курсивом именно с целью привлечь внимание к тому, что есть счёт как воспроизведение заученных "примеров", и такой счёт связан с весьма ограниченными возможностями, а есть — самостоятельно осмысленные действия ребёнка, дающие возможность получать верные результаты множеством способов и в нетривиальных ситуациях.

То есть, только на основе осознанных действий развивается гибкость, вариативность, творческость решений.

Мы описали три основных этапа движения в развитии присвоенных в личном плане умений счёта.

  1. Счёт реальных предметов, соотнесение их количества с "именем" числа, словом, называющим натуральное число; с условной моделью числа; цифрой;
  2. Счёт нарисованных предметов, также соотнесение их количества со словом, названием натурального числа; с условной моделью числа; цифрой;
  3. Счёт умозрительных, воображаемых предметов, возникающих в сознании ребёнка от произнесения "имени" числа, или с опорой только на математическую запись; свободное самостоятельное использование математических записей числа, числового выражения, равенства.

Эти три этапа и развёрнуты во времени: от самого раннего возраста ребёнка до окончания начальной школы, и существуют одновременно: и в четвёртом классе, решая некоторые задачи, мы моделируем их при помощи реальных предметов, и рисунков, и математических записей.

При этом для большинства детей младшего возраста счёт, решение арифметических задач интересны только в ситуации деятельности, то есть, чтобы учиться легко и успешно, детям надо конструировать, лепить, рисовать, играть в подвижные игры и т. д.

И делать это надо не только дошкольникам, но и младшим школьникам, обучаясь при этом и наглядному моделированию задач.

О пользе и месте рисования в математике

Из всех перечисленных выше видов детской деятельности в этой статье мы обсудим только рисование, вспомогательные математические модели в виде рисунков, схематических рисунков, схем.

Поговорим о том, зачем детям рисовать эти модели, и в какой последовательности принято с ними работать.

Прежде всего — зачем?

Основная задача ребёнка к концу начальной школы — научиться умело и быстро совершать четыре арифметических действия (сложения, вычитания, умножения и деления) с натуральными числами и нулём в пределах миллиона. В пределах тысячи – преимущественно устно, далее – преимущественно письменно.

Эта работа тесно связана с решением арифметических задач. Более того, большинство арифметических задач начальной школы – это всего лишь модели реальных жизненных ситуаций, специально созданные для того, чтобы ребёнок мог мысленно представить себе какие-то действия с объектами реальной действительности, которые могут быть описаны в виде числовых выражений и равенств.

Для того, чтобы быть успешным в деле счёта, ребёнку надо знать "устройство" натуральных чисел, их состав из меньших, а также хорошо представлять себе, что означает каждая из четырёх арифметических операций: что надо сделать с числами, чтобы получить результат каждой такой операции.

Мы употребляем здесь слово "представлять" в значении "видеть картинкой", образом, наглядным действием. Большинству детей просто необходимы до определённого момента внешние и внутренние наглядные опоры при совершении действий над числами.

В какой-то момент эти картинки исчезнут, растворятся, станут не нужны, но только тогда, когда многократно совершённое на основе наглядных представлений действие перейдёт во внутренний план, станет навыком счёта.

При этом эффективно работают только собственные образы, созданные самим ребёнком для себя: собственные наглядные и схематические модели чисел и действий с ними.

Школа использует наглядные образы, тем более созданные самими детьми, крайне ограниченно, стремительно переходя к заучиванию готовых примеров.

Сказать при этом можно только одно: все возможные примеры заучить нельзя. Если хочешь быть успешным, основой действия должно быть понимание и осознанность, как было сказано выше.

Продуктивный педагогический подход состоит здесь в обучении детей счёту и решению задач через обучение математическому рисованию, самостоятельному моделированию в виде рисунков разной степени абстракции: от наглядных до схематических.

Напомним, что рисование — лишь один из видов деятельности, эффективно работающих в данном случае, но в этой статье мы описываем только его.

Как мы учим рисовать на уроках математики

Давайте рассмотрим последовательность действий поэтапно.

Возраст детей, с которыми мы учимся рисовать описанные ниже модели – от пяти до восьми лет. При этом начинать рисовать можно и нужно в любой точке этого возраста.

Первый этап: рисуем числа.

Самое начало знакомства с натуральным числом и счётом предметов.

На этом этапе мы рисуем модели чисел. Показываем детям готовые, просим нарисовать свои.

"Портрет" числа один. 1.
"Портрет" числа два. Один да один. 2; 1 и 1; 1+1; 1+1=2.
"Потрет" числа четыре. 4. Два и два (два фиолетовых цветка и два красных). Один и три (один завял, три — нет).
"Портрет" числа девять. Два и три и четыре; один и восемь. 9. 2 и 3 и 4. 2+3+4. 2+3+4=9.

Создавая собственные модели натуральных чисел, ребёнок осмысливает их состав, "устройство", запечатлевает в виде понятных ему образов, собственных опор для запоминания, присвоения этих важнейших представлений о натуральном числе.

Рисование моделей чисел обязательно сопровождается математическими записями, соединяясь, объединяясь, в устойчивые смысловые конструкции.

Математические записи тоже делает сам ребёнок: подписывает изображение на том уровне знакомства с математикой, каким владеет на данный момент.

Педагог, тот, кто занимается с ребёнком этой работой, показывает в это же свои рисунки и свои математические записи. Это могут быть только такие записи, которые ребёнок может понять и осмыслить, пусть сейчас лишь под руководством взрослого.

Второй этап: рисуем числа схематически.

Те же числа можно и нужно изображать схематическими рисунками. Причина ясна: сделать наглядный рисунок можно далеко не всегда.

Схематическое изображение чисел один, два, четыре, девять точками, изображающими единицы.
Схематическое изображение чисел один, два, четыре, девять единичными отрезками, также изображающими единицы.
Схемы чисел пять и десять при помощи отрезков.
Состав числа из меньших чисел при помощи отрезков.

На этих рисунках отражена не только работа по переходу от наглядного изображения к схематическому, но и последовательность действий: единицы – точки, единицы – единичные отрезки, число как целый отрезок, состав числа при помощи отрезков.

Надо сразу сказать, что это работа не простая, но крайне полезная: умение моделировать числа при помощи отрезков незаменимо при решении некоторых задач, и крайне полезно при решении любых арифметических задач начальной школы.

Взрослый, работающий с ребёнком, должен понимать, что многим детям непросто представить число в виде отрезка. Такое представление не может быть навязано, оно может быть только выращено через сопоставление рисунков и схематических рисунков, схем.

Сопоставление схемы и наглядного рисунка.

Третий этап: рисуем арифметические задачи (действия с числами).

Сначала мы показываем ребёнку самые разные рисунки: от наглядных до схематических и просим придумывать по ним математические рассказы с вопросом.

Рассказы могут быть самыми разными и даже фантастическими, но сводятся они все в данном случае к одному изложению событий, представленному ниже.

У Маши три шара, у Серёжи — два. Сколько у них шаров?

Наглядный рисунок.
Схематический рисунок
Схема.

На этих рисунках показана и последовательность предъявления изображений по мере выращивания абстрактных представлений, и некая триада, которая предъявляется детям, если они уже работали со схемами, но читают их и используют с затруднениями.

Далее мы предлагаем детям придумывать математические рассказы самим и самим их рисовать, а мы, взрослые, будем их "читать" и разбираться вместе с ребёнком, верно ли прочли, и можно ли было по этому изображению прочесть верно, и что надо сделать, чтобы читалось.

Все описанные выше действия можно и нужно облекать в форму игры, исследования, приключения.

Как описанная работа связана с подготовкой ребёнка к ВПР, итоговым испытаниям по математике?

К сожалению, даже к концу четвёртого класса некоторые дети испытывают затруднения со счётом, чтением даже элементарных математических текстов, и всё это лежит в основе неуспешности решения задач, прохождения различных математических испытаний.

Те действия, которые мы описвли в этой статье, служат для предотвращения подобных неприятных моментов в жизни ребёнка.

Автор статьи

Козлова Светлана Александровна — руководитель направления разработки контента для начальной школы «Репетитор: математика», автор учебников и пособий по математике для детей от трёх до двенадцати лет.

Хотите получать уведомления о новых статьях в блоге? Подпишитесь на обновления.