Математика — это для всех! «Репетитор: математика»

Устные вычисления и вычислительные навыки в начальной школе, ВПР и приложении "Репетитор:математика"

Для чего и для кого написана эта статья?

В этой статье мы обсудим требования школьной программы и Всероссийской проверочной работы (ВПР) к навыкам счёта у учащихся, систему работы по их формированию и те возможности, которые предлагает «Репетитор: математика».

Статья написана для всех взрослых, заинтересованных в хорошей математической подготовке учащихся начальной школы, но более всего — для родителей и молодых учителей.

Что такое устные вычисления и требования к ним программы начальной школы

Устные вычисления — это быстрые безошибочные вычисления без каких-либо опор в виде записей, рисунков, схематических рисунков и т. д., то есть они должны быть доведены до уровня навыка, автоматизированного действия: восприятие (узнавание) числового выражения и соотнесение его с хорошо известным ребёнку результатом. Именно этим устные вычисления преимущественно отличаются от письменных, требующих более длительных размышлений в процессе всего решения.

Программа начальной школы относит к устным вычислениям на уровне навыка все перечисленные ниже арифметические действия.

  1. Сложение и вычитание в пределах двадцати. В основе этих действий лежит знание результатов всех случаев сложения всех однозначных чисел (от 1 до 9) и соответствующих им случаев вычитания. Например: 5 + 4 = 9; 9 - 4 = 5; 9 - 5 = 4; 5 + 6 = 11; 11 - 5 = 6 и т. д. Это так называемое «табличное» сложение и вычитание, так как все эти числовые равенства для запоминания часто заносятся в таблицу.
  2. Умножение и деление в пределах ста. В основе этих действий лежит знание результатов всех случаев умножения однозначных чисел (от двух до девяти) и соответствующих им случаев деления. Это так называемое «табличное» умножение и деление. Отдельно здесь же рассматриваются случаи умножения с нулём и единицей.
  3. Так называемое «внетабличное» сложение и вычитание — это преимущественно сложение и вычитание двузначных чисел в пределах ста.
  4. «Внетабличное» умножение и деление — это умножение двузначных чисел на однозначные в пределах ста, деление двузначных чисел на однозначные и двузначных на двузначные, в том числе и с остатком.
  5. Все четыре арифметические действия с многозначными числами, сводимые к вычислениям в пределах ста. Например: 500 + 600 представляем как сложение пяти и шести сотен; 100 · 10 — как умножение десяти десятков на десять, 250 : 5 также сводим к случаю: 25 десятков разделить на пять и т. д. Следует также отметить, что вычислительные действия, если они присвоены глубоко и выполняются учащимся автоматически, называются навыком счёта. Требования считать на уровне навыка предъявляются в начальной школе только к описанным здесь случаям.

Требования ВПР к устным вычислениям

ВПР в первом и втором заданиях в тех вариантах контрольных работ, что предлагались в последнее время, проверяет умение считать быстро и безошибочно преимущественно в пределах ста, то есть, предлагаемые вычисления относятся к описанным выше пунктам с первого по четвёртый.

Проблемы по формированию навыков счёта у учащихся начальной школы и некоторые их причины

Таблицы сложения и вычитания, умножения и деления дети в школе учат наизусть. Внетабличные случаи вычислений основываются на знании табличных.

Всё время, пока дети вычисляют, они, по сути, продолжают учить таблицы. Это происходит на протяжении всех лет обучения в школе, при этом итоговые испытания по математике системно показывают недостаточную успешность учащихся в счёте. Почему так происходит? В чём состоит частая педагогическая ошибка?

И родители, и педагоги очень часто начинают знакомство ребёнка с математикой не с наглядных моделей натуральных чисел, а с цифр. И очень быстро, неоправданно быстро — к математическим записям в виде числовых равенств, когда они ещё не наполнены для ребёнка пониманием, ясностью, что означает каждый знак в этой записи. А затем так же быстро мы предлагаем детям заучить целую систему этих равенств наизусть. Таких далёких и не нужных большому числу детей равенств.

 Так, на самом входе в математику мы даём многим детям понять, что это нечто нужное для общения со взрослыми, но ненужное самому ребёнку.

Дети, математически одарённые и поэтому испытывающие интерес к математике в самых разных её формах, счастливо избегают этой участи, но тоже не всегда. Формальные подходы могут задушить и эту любовь.

Эффективная система обучения счёту включает в себя ряд этапов, учитывающих способы мышления ребёнка, его возрастные возможности.

Этап первый: до заучивания таблиц в виде набора числовых выражений

Детям предлагается моделировать натуральные числа сначала в виде набора предметов (от пуговиц, бусин, цветков и т. д. до счётных палочек и геометрических фигур); позже в виде рисунков и схематических рисунков.

Число три. Наглядный рисунок.
Число три. Схематический рисунок.

Далее каждая наглядная модель числа соотносится с записью в виде схематических моделей (точек, галочек, палочек), желательно, созданных самими детьми, и соответстующей цифрой.

От наглядного рисунка — к схематическому и цифре.

Так же наглядно моделируются и арифметические операции над числами на примере операций с предметными множествами.

Иллюстрация к операции объединения предметных множеств. Наглядная опора для операции сложения чисел один и два.

Каждая модель операции над множествами (объединения подмножеств в множество, вычленения подмножества из множества, разбиения множества на равномощные) соотносится с математическими записями.

Модель операции объединения предметных множеств соотносится с записью действия сложения.
Модель операции вычленения подмножества из предметного множества соотносится с записью действия вычитания.

Так наблюдения над составом чисел перерастают в осознанные математические записи, которые могут уже быть систематизированы в виде таблиц.

Этап второй: во время заучивания таблиц

Всякое вычислительное действие сопровождается объяснениями, опорным наглядным моделированием (в случае, если ребёнок показывает, что не справляется с этим вычислением легко). Производится анализ таблиц, где ясно видна взаимосвязь компонент действий сложения и вычитания, связь результата действия от изменения одной из компонент и т. д., то есть с какого-то момента сама таблица становится подсказкой, шпаргалкой, опорой для запоминания.

Таблица сложения чисел от 1 до 10.

Этап третий: после заучивания таблиц

Детям предлагается большое число разнообразных упражнений на вычисления, в том числе и табличных и внетабличных, как более интересных, и желательно, чтобы эти упражнения предлагались в максимально разнообразных формах.

Эти этапы хорошо известны, но редко реализуются на уроке в полной мере по ряду причин.

Перечислим некоторые из них.

  • Сложно осуществляются приёмы индивидуальной и групповой работы. Дети — разные, задания им нужны разные, их надо и подготовить и проверить. Это вызывает большие затруднения при большой группе учащихся.
  • Проблема ограниченности во времени на уроке.
  • Утомляемость детей от большого числа однообразных действий.

Выход всегда был в большей самостоятельности учащихся в обучении счёту, но при этом остро вставал вопрос: что может заинтересовать ребёнка, вызвать у него мотивацию к таким самостоятельным действиям?

Практика показывает, что одним из мотивирующих инструментов для детей является решение таких заданий в виде разнообразных тестов.

Работа по углублению и закреплению вычислительных навыков в приложении «Репетитор: математика»

В настоящее время контент приложения содержит большое число тестовых заданий «на вычисления», связанных с заданиями вариантов ВПР.

При этом мы занимаемся как систематизацией существующих у детей знаний об устных вычислениях, так и развитием и закреплением навыков счёта.

Как всегда, работа с каждым заданием ВПР в приложении строится на трёх уровнях. Первый уровень – это работа с целым вариантом, второй уровень — это решение большого числа заданий, аналогичных заданиям ВПР, и третий уровень – это коррекция проблем.

В случае работы с вычислительными навыками это система карточек, где на каждой даётся краткое описание группы вычислительных приёмов и обширный тренинг по каждому из них. Например, отдельно рассматриваются приёмы устного сложения в пределах ста, вычитания в пределах ста и т. д.

Фрагмент теории к ВПР в приложении «Репетитор: математика».

При этом используются такие тесты, как тесты на установление пар, выбор одного ответа, выбор многих ответов, установления порядка, распределения результатов в таблице, тест со свободной формой ответа и т. д, то есть большое числу разнообразных заданий сопровождает большое число форм работы.

Фрагмент тренинга к ВПР в приложении «Репетитор: математика».

Ребёнок может сам выбирать карточки и последовательность действий с ними. Все карточки содержат решения и краткий справочный материал. Время работы с вычислительной карточкой не превышает пятнадцати минут.

В общей сложности этот раздел приложения «Репетитор: математика» в настоящий момент содержит не менее полутора сотен кратких тестов на формирование навыков устного счёта, и их число увеличивается с каждым обновлением.

Как описанная работа связана с общей математической подготовкой детей?

Все учебные задачи, которые мы здесь рассмотрели, а также система работы с ними, связаны с подготовкой к ВПР, но имеют и самостоятельную развивающую и обучающую ценность, могут быть использованы при самостоятельной работе дома, в качестве дифференцированных домашних заданий. Особо следует отметить, что некоторые вычислительные тренинги, предлагаемые в нашем приложении, можно использовать, начиная с возраста восьми — девяти лет (ориентировочно конца первого – начала второго класса).

Автор

Козлова Светлана Александровна — руководитель направления разработки контента для начальной школы «Репетитор: математика», автор учебников и пособий по математике для детей от трёх до двенадцати лет.

Хотите получать уведомления о новых статьях в блоге? Подпишитесь на обновления.