Математика — это для всех! «Репетитор: математика»

Математика как игра: подходы к обучению

«
Индивидом рождаются, личностью становятся, индивидуальность отстаивают.»
— А. Г. Асмолов

Модели образования

Острые дискуссии об образовании, его современной парадигме, формировании новых подходов к обучению на всех уровнях, пути, по которому пойдет процесс реорганизации складывавшейся десятилетиями системе, не может не волновать общество и государство. Наша система образования, которую прошли и сегодняшние педагоги, в целом доказала свою эффективность нашими успехами в науке, культуре и технике в XX в. Однако мир меняется, появляются новые технологии, скорость передачи информации и доступное ее количество уже никак несравнимо с 1960–1970-ми гг. Хочется надеяться, что специалисты — психологи, антропологи, медики и педагоги — смогут найти инновационные, адекватные новому времени методики преподавания без потери традиций.

Резервы образования

Не стоит идеализировать и нашу «старую» систему образования, были в ней и много неудачных экспериментов, и явная нехватка квалифицированных специалистов и оборудования, и переполненные классы, аудитории, и пр. Если попытаться найти серьезные работы, анализирующие ошибки образования, их истоки, то задача окажется почти не решаемой.

Можно выделить несколько тезисов, на которые стоит обратить внимание читателя.

Тезис первый. На «старте» все равны и человека в любой сфере деятельности можно поднять на вершину. Наследственность зачастую определяет только скорость и маршрут восхождения.

Тезис второй. Человек в процессе своего развития вскрывает порядка 12–15 % того потенциала, с которым рождается; те же, кого принято называть гениями, — 30–35 %. Остальной потенциал остается вне пределов его возможности.

Тезис третий. Потенциал любого человека вскрывается в раннем возрасте и характеризуется высокой скоростью угасания этого процесса. Например, из 15 % потенциала порядка 12,5 % вскрываются в первые пять лет; еще 2 % потенциала вскрывается к семи годам; последние 0,5 % вскрываются примерно к 13–15 годам и во многом заканчиваются к моменту завершения полового созревания. Именно поэтому первые пять–семь лет считаются «золотым периодом» жизни человека. Позднее развитие идет не с такой интенсивностью и зачастую «не в глубину, а в ширину».

Тезис четвертый. Главный враг вскрытия потенциала личности — это страх перед враждебностью окружающей среды. Большая дискуссия развернулась о причине существования «дырки» между первым интервалом 12–15 % и вторым 30–35 % (гении). По мнению специалистов, этот разрыв обусловлен накоплением стрессовых ситуаций в период полового созревания, в процессе познания мира и себя в нем. В «золотой» период развития ребенок ничего не делает назло кому-то; занимается исключительно познанием окружающей среды, мироздания. Ребенок рождается на свет с широко открытыми глазами и любая опасность «закрывает окно» восприятия, оставляя лишь щель, что и приводит к потере скорости вскрытия потенциала человека. Распахнуть это «окно» по силам только уже в старшем возрасте. Отсюда — чрезвычайно важна роль родителей, воспитателей, педагогов и всех окружающих — активно способствовать этому познанию, оберегая ребенка от опасностей и поощряя его активность и любознательность.

Тезис пятый. Полный контроль педагога над тем, как дети овладевают информацией, возможен лишь при условии, что перед ним не более пяти–шести учеников, — тогда он может мгновенно реагировать на изменение в их поведении, отметить, что понятно или нет и т. д. Однако очевидно, что ни одно государство в мире не может себе позволить такую роскошь и реализовать в образовании предложенную схему.

Тезис шестой. Человек самых обычных способностей любой текст средней трудности (не требующий знакомства с дополнительной информацией для понимания этого текста) «полностью переваривает» со скоростью пять страниц в час. Под «полным перевариванием» понимается полное овладением информацией текста и способность изложить его с любой степенью подробности.

Математика как музыка мышления (Жан Мишель Бисмут)

Факт, что математикаэто «гимнастика для ума», инструмент развития мышления, скорее всего никто оспаривать не будет. Однако мы часто слышим, что школьник и студент считают себя не способными к математике, не любят ее и, по возможности «бегут от нее», выбирая тот вуз, а значит и дальнейшую специальность, где «не нужно сдавать и учить математику». Исходя из первого тезиса и опыта многих поколений преподавателей и родителей, ясно, что нет детей, не способных к математике. Такой эффект неприятия математики связан с «работой» четвертого–шестого тезисов. Тут роль семьи, учителя, окружения четко видна, ее нельзя преувеличить. Сколько поколений юных училось на книгах Я. И. Перельмана, которые переиздаются уже почти 85 лет огромными тиражами. Это не только математика, но и физика, и астрономия. При этом, как отмечает сам автор, самое важное в этих книгах — не информация, а форма ее представления, интерес и азарт познания, который они формировали. Превращать приятную игру ума в утомительное занятие, чересчур серьезное для развлечения и слишком бесплодное для серьезной работы, — значит извращать цель и смысл подобного рода литературы [6].

Ребенок готов учиться и узнавать новое, и процесс этот надо делать непрерывным, например, гуляя по улице, считать шаги, ступеньки, окна и т. д. В любой домашней работе можно найти задачи на сложение, вычитание, исследование геометрических фигур. Здесь очень полезны книги, особенно те, которые формулируют такие задания для малышей и младших школьников (тезисы второй и третий). Такой подход предлагают в своих книгах Е. Б. Арутюнян и Г. Г. Левитас [2], где главные герои знакомы ребятам по мультфильмам. В книге в сказочной форме изложен материал из школьной математики, обычно трудно дающийся учащимся V—VI классов: элементы геометрии (биссектриса), проценты, уравнения, пропорции, степени. К этому добавлено и строгое изложение материала («Комментарии старого учителя»). Как считают авторы, такое построение книги учитывает склонности детей с разным складом интеллекта. Учебное пособие «Наглядная геометрия» И. Ф. Шарыгина и Л. Н. Ерганджиевой [8], не имеющее аналогов в современной школьной практике, можно смело рекомендовать и ученикам, и учителям. Материал, приведенный в пособии, позволяет ненавязчиво развить геометрические представления, поскольку написанное живо и увлекательно. С ним можно работать и на уроках, и самостоятельно.

Е. Б. Арутюнян, Г. Г. Левитас. Сказки по математике.
И. Ф. Шарыгин и Л. Н. Ерганджиева. Наглядная геометрия.

Можно отметить и игровые подходы Б. П. Гейдмана в обучении математике школьников разного возраста, которые нашли отражение во многих его публикациях совместно с единомышленниками [3]. Очень интересна и полезна книга А. К. Звонкина «Малыши и математика. Домашний кружок для дошкольников» [4]. Она будет полезна родителям и бабушкам-дедушкам, которые понимают, что обучение в игровой форме будет иметь в математике огромный эффект. Два момента из этой книги в рассматриваемом контексте важно отметить:

  1. ребенка надо учить тому, что любишь сам, что тебе интересно;
  2. занимаясь с детьми, умнеешь сам, растешь вместе с ними, обогащаешься общением, психологическими и педагогическими находками.

Это очень важное наблюдение, которое меняет распространенное представление о «потерянном времени», когда сидишь с ребенком дома, жертвуя карьерой.

А. К. Звонкин. Малыши и математика. Домашний кружок для дошкольников.

Инновационные технологии нашли свое применение в формировании интереса к науке и обучении математике в разработках лаборатории популяризации и пропаганды математики Математического института РАН им. В. А. Стеклова под руководством Н. Н. Андреева [1] (сайт "Математические этюды").

Математические этюды

Здесь уместно обсудить проблему освоение материалов учебников. Все (!) школьные и вузовские учебники хорошо квантованы и подкреплены сериалами упражнений и задач. Трагедия, однако, в том, что школьный учебник ни в одном классе полностью не изучают (не успевают!). Можно вспомнить свои школьные годы. Какие задания задавали вам на дом по математике? Например, упр. 53 (1, 2, 6), упр. 59 (4, 7, 8). Однако ни один автор учебника не исходит из того, что не все темы проходят в классе, не все упражнения выполняются учениками. А если учитель заболел, или ученик? Какой вывод? Целые разделы программы остаются «белыми пятнами», которые разрастаются в геометрической прогрессии, поскольку новый материал опирается на пройденный. Надо быть «индивидуалистом», личностью, независимым, и восхождение к знаниям должно быть самостоятельным. Можно посчитать: если взять все учебники по математике за курс средней школы, то из расчета работы с ними по два часа в день потребуется всего лишь один учебный год до полного овладения школьным курсом математики (см. тезис шестой). Это отмечает и С. Хан [1].

У автора был опыт, который иллюстрирует этот тезис.

В одной из школ Москвы (в присутствии учителей математики на всех занятиях) за один учебный год (при шести уроках в неделю) был пройден полный курс планиметрии (VI—VIII классы) с доказательством всех теорем и решением всех задач в уме (!), с изложением соответствующих глав алгебры в группе шестиклассников.

Этот эксперимент важен не только конечным результатом (освоением материала), но и победой ребят над собой, своими страхами и стереотипами. Кроме того, знакомство автора с участниками летних математических школ из разных городов России (в основном ребята из сборных команд этих городов) показало, что большинство из них овладевают программой школьного курса математики уже за два—три года до окончания школы и затем активно погружаются в более сложные темы. Многие из них при поступлении в высшие учебные заведения страны сразу шли овладевать спецкурсами для студентов старших курсах и работать в соответствующих научных семинарах тех или иных кафедр.

Игра как средство развития личности и интеллекта

Игра сопутствует человеку на протяжении всей его жизни, ее роль в становлении личности трудно переоценить. Как часто самое важное в жизни человека не поддается словесному описанию — даже Великая математика, как пишет Д. Н. Кавтарадзе [4]. Когда ученик осваивает материал, играя, и забывает, что ты его учитель, то результат достигается во много раз быстрее и надежнее. Развитие креативных способностей у человека, даже взрослого, через игру происходит эффективнее и зачастую другим способом его нельзя достигнуть вовсе. На этом построены и различные психологические тренинги, позволяющие раскрыться потенциалу человека, снять «скорлупу» и стать открытым к новым знаниям и готовым к новым победам (тезис седьмой).

В заключение приведем несколько примеров из личной практики, которые могут быть полезными и послужить основой для поиска новых педагогических приемов по активному развитию потенциала маленького ребенка через игру-математику.

Пример 1

В одной семье, где родители не могли научить ребенка цифрам и счету, я предложил все оцифровывать. Так, можно попросить ребенка принести ложки и вилки, а можно попросить принести четыре ложки и две вилки, хотя ребенок, возможно, впервые и слышит слова «четыре» и «две» (о том, что числа, привычные для взрослых, для ребенка звучат, как «китайская грамота» образно написано в уже упомянутой книге А. К. Звонкина [3]. Ребенок приносит две ложки и три вилки. Теперь надо крайне доброжелательно сказать: «ты принес две ложки и три вилки, поэтому принеси еще две ложки и унеси одну вилку».

В результате в течение полугода ребята к четырем годам овладевают счетом как минимум в пределах ста.

Пример 2

Девочка 7 лет отдыхает на даче последние дни перед своим первым учебным годом. На веранде сидят мама, папа, бабушка, тетушка с мужем, племянница.

— Верунчик, а ты дни недели знаешь?

— Да.

— Ну, начиная с понедельника, назови все дни.

Верунчик пропускает четверг и называет остальные дни недели не по порядку.

— Верунчик, а считать ты можешь?

— Да.

— Посчитай от 1, пока не остановишься!

Верунчик упирается в число 40, «потеряв по дороге» несколько чисел.

— Что же вы делаете, точнее ничего не делаете? Ясно, что ее в классе научат считать, но для нее в классе будет стрессовая ситуация, ей будет очень некомфортно, поскольку над ней начнут смеяться, так как многие из первоклассников, приходя в школу, уже легко считают (часто в пределах нескольких тысяч).

Бабушка заявляет, что мы весь год пытаемся ее научить считать, но она не может, так как она гуманитарий и, видимо, не способна к математике.

Отвечаю, что не способных к математике детей нет, а есть нетерпеливые родители, бабушки и т. д. Я могу поспорить, что уже в воскресенье вечером она будет считать с любого места в пределах миллиона, а в пределах тысячи складывать и вычитать. Напомню, разговор был в пятницу вечером.

В субботу утром после завтрака я попросил Верунчика помочь мне посчитать шаги от дачи до железнодорожной станции. Для этого она должна была просто повторять за мной числа. Я с ней весь день до обеда, а затем и до ужина раз пять ходил туда и обратно, считая шаги.

В какой-то момент я специально ошибся и услышал от Верунчика, что надо сказать число не 11534, а число 11533 (которое намеренно пропустил). Тогда я попросил Верунчика считать дальше, поскольку я устал. Она с удовольствием продолжила счет, а я только ей помогал, следя за ее работой.

В очередной попытке я предложил ей считать только под одну ногу, вслух называл числа через одно. Так мы несколько раз прогулялись по четным и нечетным числам.

В воскресенье мы снова подряд считали шаги, затем только четные и нечетные, а далее я предложил Верунчику сесть на скамеечке и считать, прибавляя по 5, затем по 10, по 100, по 1000, по 5000, по 10000 и т. д.

Она в восторге сказала: «Бабушка и мама сейчас будут в шоке».

Вопрос с днями недели тоже надо было решить. Предложил всем членам семьи дать имена дней недели (по старшинству). Бабушка стала понедельником, автор статьи — вторником, папа — средой и т. д. Попросил при разговорах с девочкой и друг с другом пользоваться новыми именами и не отзываться на свои настоящие. Проблема также была решена, поскольку это была игра и сотворчество. Надо сказать, что потом этот прием использовался со многими детьми друзей. Всегда такая игра вызывала азарт, и желаемый результат получался в течение нескольких дней.

Пример 3

Как объяснить ребенку, что такое отрицательное число? Наверное, есть разные методы, но проще всего это понять маленькому человеку через знакомые и понятные объекты. Для этого подойдет обычный уличный термометр, висящий за окном (лучше чтобы он был не круглый). Красные цифры, идущие от нуля вверх, показывают потепление (они и есть положительные), а те, что идут вниз, указывают на похолодание (они и есть отрицательные). Или большие лестницы-виадуки или эскалаторы в метро. Если идем вверх и считаем ступени, то находимся в поле положительных чисел, а идем вниз — мы в поле отрицательных чисел.

Довольно часто научить ребенка считать помогает просьба пересчитать деньги в Вашем кошельке или в домашней копилке. Тут можно быстро научить и сложению и вычитанию. Когда он станет постарше, понять проценты лучше через рекламу банков, какой процент каждый из них обещает и сколько это будет при разной сумме вклада.

Пример 4. Игра «Палочки».

Опишем игру в общем виде.

Играют двое.

Кладется N палочек. Каждый при своем ходе должен взять не больше K (K<N) и не меньше одной палочки!

Числа N и K задаются перед игрой. Например. Дано 50 палочек (конкретно при своем ходе надо взять максимум 12 палочек и не менее одной).

Вариант 1. Выигрывает тот, кто возьмет последнюю палочку.

Вариант 2. Проигрывает тот, кто возьмет последнюю палочку.

P. S. Вариант 2 равносилен варианту 1 при числе палочек на одну меньше.

(Можно играть в уме, называя при своем ходе число оставшихся палочек).

Для малышей можно для начала взять 7 палочек (конфет, сушек, орешков и др.) и при каждом ходе брать не больше трех и не меньше одной конфеты.

Можно варьировать условие игры. Например, играют с 30 палочками, и выигрывает тот, кто заберет 23-ю палочку.

Как видно из приведенных примеров, вся наша повседневная жизнь полна возможностей развиваться самому, развивая детей, играя с ними в разные игры, используя арифметику, алгебру, геометрию и стереометрию.

Автор призывает всех, кому дорог интеллектуальный потенциал будущей России, активно помогать молодому поколению в приобретении ориентации в самых различных сферах человеческой деятельности, в чем очень помогут игры и математика.

Литература

  1. Андреев Н. Н. Компьютерные фильмы о занимательных и нерешенных проблемах математики. Фильм седьмой. Развертка // Компьютерные инструменты в образовании. 2007. № 1. С. 84–86.
  2. Арутюнян Е. Б., Левитас Г. Г. Сказки по математике. М.: Высшая школа, 1994.
  3. Гейдман Б. П., Мишарина И. Э., Зверева Е. А. Математика. 2 класс. Рабочая тетрадь: В 4 ч. ФГОС. М.: Русское слово, 2012.
  4. Звонкин А. К. Малыши и математика. Домашний кружок для дошкольников / Рис. М. Ю. Панова. 2-е изд., испр. М.: Изд-во МЦНМО, 2007.
  5. Кавтарадзе Д. Н. Мастерская игр: ремесло и искусство. М.: Акрополь, 2013.
  6. Перельман Я. И. Занимательная математика. Математические рассказы и очерки. Л.: Время, 1927. – Репринт: М.: Изд-во МГИК, 1993.
  7. Хан С. Весь мир — школа. Преобразованное образование. – М.: Издательский дом «Классика XXI века», 2015. – 176 стр.
  8. Шарыгин И. Ф., Ерганжиева Л. Н. Наглядная геометрия. Учебное пособие для учащихся V–VI классов. М.: МИРОС, 1995.

Автор

Голубев Виктор Иванович — член редколлегии журнала "Квант", автор множества популярных пособий по математике.

Хотите получать уведомления о новых статьях в блоге? Подпишитесь на обновления.