Тренировочный вариант профильного ЕГЭ 2019 № 3

Тренировочный вариант профильного ЕГЭ по математике и все решения взяты из нашего приложения Ботанмэн.

Хотите научиться решать все задачи ЕГЭ и получить максимум баллов — Ботанмэн даст много теории с тренингом, видеолекций с вебинарами и многое другое.

Полностью индивидуальное обучение онлайн. Посмотрите сами, это бесплатно!

Очень полезный ролик с нашего канала YouTube. Каждую неделю мы проводим вебинары и делаем новые ролики. Подписывайся!

Задача 1 — 1 балл, 2 минуты

Студент получил свой первый гонорар 1300 рублей за выполненный перевод. Он решил на все полученные деньги купить букет роз для своей преподавательницы английского языка. Какое наибольшее количество роз сможет купить студент, если удержанный у него налог на доходы составляет 13% гонорара, розы стоят 90  рублей за штуку и букет должен состоять из нечётного числа цветов?

Решение

Налог составляет 13000,13=169. После выплаты налога у студента останется 1300169=1131 рубль. Поделим 1131 на 90: 113190=37730=121730. Значит, можно купить 12  роз. Т. к. букет должен состоять из нечётного числа цветов, студент может купить букет из 11 роз.

Ответ: 11.

Задача 2 — 1 балл, 2 минуты

На диаграмме показано распределение выплавки меди в 10 странах мира (в тысячах тонн) за 2006 год. Среди представленных стран первое место по выплавке меди занимали США, десятое место — Казахстан. Какое место занимала Канада?

Решение

На диаграмме видно, что по выплавке меди Канада занимала седьмое место.

Ответ: 7.

Задача 3 — 1 балл, 2 минуты

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см изображена трапеция. Найдите её площадь. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту: S=1+426=53=15 см2.

Ответ: 15.

Задача 4 — 1 балл, 3 минуты

В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл не выпадет ни разу.

Решение

Вероятность того, что при каждом броске монеты орёл не выпадет, равна 12. Искомая вероятность равна 121212=18=0,125.

Ответ: 0,125.

Задача 5 — 1 балл, 3 минуты

Найдите корень уравнения 363x=27.

Решение

Выполнив последовательные преобразования, найдём корень уравнения:

363x=27, 363x=33, 63x=3, 3x=3, x=1.

Ответ: 1.

Очень полезный ролик с нашего канала YouTube. Каждую неделю мы проводим вебинары и делаем новые ролики. Подписывайся!

Задача 6 — 1 балл, 3 минуты

В треугольнике ABC угол C равен 50°, AD и BE — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

Решение

Рассмотрим треугольник AOB:

AOB=180°BAOABO=180°BAC2ABC2=180°BAC+ABC2.

Из треугольника ABC:

BAC+ABC=180°ACB=180°50°=130°.

Тогда AOB=180°130°2=115°.

Ответ: 115.

Задача 7 — 1 балл, 5 минут

На графике дифференцируемой функции y=f(x) отмечены семь точек: x1,x2,,x7. Найдите все отмеченные точки, в которых производная функции f(x) равна нулю. В ответе укажите количество этих точек.

Решение

Поскольку производная функции в точке равна угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной к графику функции в точке с соответствующей абсциссой, то среди точек x1,x2,,x7 необходимо выбрать те, в которых касательная к графику функции y=f(x) горизонтальна. Таких точек две: x4 и x7.

Ответ: 2.

Задача 8 — 1 балл, 5 минут

Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение

Площадь поверхности многогранника равна сумме площадей всех граней:

S=265+2(6532)+252+251+55+53=178.

Ответ: 178.

Задача 9 — 1 балл, 5 минут

Найдите значение выражения 1805321804726.

Решение

Преобразуем подкоренное выражение по формуле разности квадратов:

180532180472=(1805318047)(18053+18047)=6·36100.

Окончательно получаем:

6361006=63611006=61910=1140.

Ответ: 1140.

Задача 10 — 1 балл, 5 минут

Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы, определяемой по формуле A(ω)=A0ωp2|ωp2ω2|, где ω — частота вынуждающей силы (в с-1), A0 — постоянный параметр, ωp=360 с-1 — резонансная частота. Найдите максимальную частоту ω, меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину A0 не более чем на 12,5%. Ответ выразите в с-1.

Решение

Задача состоит в решении неравенства A(ω)A00,125A0 или A(ω)1,125A0. Подставим значение резонансной частоты и решим это неравенство:

3602A0|3602ω2|1,125A0  3602|3602ω2|1,125  36021,125|3602ω2| 
 36021,1253602ω2 т.к. ω<360 
 ω2360236021,125=3602·1,12511,125=3602·0,1251,125=36029
 ω3603=120.

Значит, максимальная частота вынуждающей силы ω=120с1.

Ответ:  120.

Очень полезный ролик с нашего канала YouTube. Каждую неделю мы проводим вебинары и делаем новые ролики. Подписывайся!

Задача 11 — 1 балл, 10 минут

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 513 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч, стоянка длится 8 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 54 часа после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Решение

Искомую скорость теплохода в неподвижной воде обозначим за x.

Время движения теплохода, не считая времени стоянки, составляет 548=46 ч. Скорость, с которой он двигается до пункта назначения, состоит из собственной скорости теплохода в неподвижной воде x км/ч и скорости течения реки 4 км/ч, а скорость, с которой он движется обратно, наоборот, равна (x4) км/ч.

Следовательно, теплоход прошел 513 км до пункта назначения со скоростью (x+4) км/ч и обратно тот же путь, но со скоростью (x-4) км/ч. На весь путь он затратил 46 часов. Таким образом, получим уравнение:

513x+4+513x4=46.

Приведем дроби к общему знаменателю:

2513x46(x216)x216=0.

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, значит

{23x2513x368=0,x±4.

Решая квадратное уравнение, находим два корня x1=23 и x2=1623. Второй корень не удовлетворяет смыслу задачи (x>0). Значит, скорость теплохода в неподвижной воде составляет x=23 км/ч.

Ответ: 23.

Задача 12 — 1 балл, 10 минут

Найдите точку минимума функции y=x2+49x. на отрезке x-8;-1.

Решение

Вычислим производную: y=x249x2. Решениями уравнения y=0 являются x1=7 и x2=7.

Воспользовавшись достаточным условием экстремума, получим, что x=-7 является точкой максимума.

Ответ: -7.

Задача 13 — 2 балла, 10 минут

а) Решите уравнение (16sinx)cosx=(14)3sinx.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2π;7π2].

Решение

а) Преобразуем уравнение:

(16sinx)cosx=(14)3sinx    42sinxcosx=43sinx    2sinxcosx=3sinx.

Откуда sinx=0 или cosx=32.

Решением первого уравнения является серия x=πk, k. Решением второго уравнения являются серии x=5π6+2πm, m и x=5π6+2πn, n.

б) Из серии x=πk указанному отрезку принадлежат x1=2π, x2=3π.

 Для второй серии найдём точки, принадлежащие данному отрезку:

2π5π6+2πm7π2    256+2m72  
  1762m133    1712m136.

Так как m, то m=2. Отсюда x3=5π6+4π=196π.

Для третьей серии найдём точки, принадлежащие данному отрезку:

2π5π6+2πn7π2    256+2n72    762n83    712n86.

Так как n, то n=1, откуда x4=5π6+2π=176π.

Ответ: а) πk, 5π6+2πm, 5π6+2πn, k,m,n; б) 2π, 176π, 3π, 196π.

Задача 14 — 2 балла, 20 минут

В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 4. На его ребре BB1 отмечена точка K так, что KB=3. Через точки K и C1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.

а) Докажите, что A1P:PB1=2:1, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1.

б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB1C1C.

Решение

а) В плоскости BB1D1D через точку K проведём прямую, параллельную BD1. Пусть эта прямая пересекает диагональ B1D1 в точке L. В плоскости основания A1B1C1D1 проведём прямую C1L; пусть она пересекает сторону A1B1 в точке P. Треугольник KPC1 — сечение, проходящее через точки K и C1 параллельно прямой BD1. Действительно, прямая BD1 параллельна плоскости сечения, так как она параллельна лежащей в этой плоскости прямой KL.

В плоскости основания A1B1C1D1 через точку A1 проведём прямую, параллельную C1P. Пусть она пересекает D1C1 в точке M. По теореме Фалеса имеем: B1L:B1D1=B1KB1B=1:4 и D1M:D1B1=1:4, поэтому ML:LB1=2:1. Тогда A1P:PB1=ML:LB1=2:1, что и требовалось доказать.

б) Пусть теперь точка N — основание высоты B1N прямоугольного треугольника KB1C1 — является проекцией наклонной PN на плоскость BB1C1C. Тогда угол PNB1 — линейный угол искомого двугранного угла. Имеем:

PB1=13A1B1=43, SB1C1K=1241=2, C1K=41+12=17, B1N=2SC1K=417, tgPNB1=PB1B1N=43417=173, PNB1=arctg173.

Ответ: б) arctg173.

Задача 15 — 2 балла, 15 минут

Решите неравенство: 49x67x+37x5+67x397x77x+5.

Решение

Выполним замену неизвестной 7x=t, учитывая, что t>0, тогда неравенство примет вид:

t26t+3t5+6t39t7t+5.

Перенесём все члены в левую часть неравенства и приведём дроби к общему знаменателю:

t26t+3t5+6t39t7t5=
=(t7)(t26t+3)+(6t39)(t5)(t7)(t252)(t7)(t5)=t1(t7)(t5).

Значит, неравенство принимает вид:

t1(t7)(t5)0,

откуда с учётом условия t>0 получаем t(0;1](5;7).

Вернемся к исходной переменной x:

[0<7x1,5<7x<7    [x0,log75<x<1    x(;0](log75;1).

Ответ: x(;0](log75;1).

Очень полезный ролик с нашего канала YouTube. Каждую неделю мы проводим вебинары и делаем новые ролики. Подписывайся!

Задача 16 — 3 балла, 25 минут

Две окружности с центрами O1 и O2 пересекаются в точках A и B, причем точки O1 и O2 лежат по разные стороны от прямой AB. Продолжение диаметра CA первой окружности и хорды CB этой же окружности пересекает вторую окружность в точках D и E соответственно.

а) Докажите, что треугольники CBD и O1AO2 подобны.

б) Найти AD, если углы DAE и BAC равны, радиус второй окружности в четыре раза больше радиуса первой и AB=2.

Решение

Увеличенный фрагмент чертежа.
Увеличенный фрагмент чертежа.

а) Пусть K — точка пересечения прямых AB и O1O2. Рассмотрим треугольники O1AK и CAB. Отрезки AB и O1O2 перпендикулярны как отрезки, соединяющие общие точки двух окружностей и их центры, значит, угол O1KA прямой. Угол CBA также является прямым, т. к. является вписанным и опирается на диаметр CA окружности. Треугольники O1AK и CAB имеют общий угол A. Следовательно, треугольники O1AK и CAB подобны по двум углам. Отсюда получим, что углы AO1O2 и BCD равны.

Обозначим угол ADB за α. Тогда угловая мера дуги AB окружности с центром O2 равна 2α, т. к. угол ADB — вписанный. Пусть N — точка пересечения прямой O1O2 и окружности с центром O2. Угловая мера дуги AN равна α. Поскольку AO2N — центральный угол, опирающийся на дугу AN, его величина также равна α. Получили, что углы ADB и AO2O1 равны. Значит, треугольники CBD и O1AO2 подобны по двум углам.

б) Обозначим углы DAE и BAC за β. Пусть радиус первой окружности равен r, тогда радиус второй окружности равен 4r. Из прямоугольного треугольника DAE следует, что DE=AEsinβ=8rsinβ, а из прямоугольного треугольника BAC следует, что CB=CAsinβ=2rsinβ. Следовательно, DE=4CB. Покажем, что прямая AE проходит через точку O2. Вписанный угол AEB опирается на ту же дугу, что и вписанный угол ADB, следовательно, AEB=ADB=AO2O1. Получаем, что треугольники AO2O1 и AEC подобны и имеют общий угол A. Следовательно, точка O2 лежит на прямой AE. Угол ADE прямой, т. к. опирается на диаметр AE окружности. Получим, что треугольники ADE и ABC подобны по первому признаку подобия. Тогда можем записать соотношение

ADAB=DECB=4.

Значит, AD=4AB=8.

Ответ: б) 8.

Задача 17 — 3 балла, 35 минут

У фермера есть два поля, каждое площадью по 5 гектаров. На каждом поле можно выращивать морковь и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность моркови на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором — 400 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 400 ц/га, а на втором — 300 ц/га.

Фермер может продать морковь по цене 6500 руб. за центнер, а свёклу — по цене 8000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

Решение

Поскольку свёкла является более дорогой по сравнению с морковью, и на первом поле её урожайность выше, чем урожайность моркови, первое поле целиком следует отдать под свёклу. Доход фермера с него будет составлять S1=40058000=16000000 рублей.

Определим, как следует засеять второе поле, чтобы урожай с него принёс фермеру наибольший возможный доход. Пусть x — доля площади второго поля, отводимая под свёклу, x[0;1], тогда под морковь будет отдано (1x) от площади поля. Доход с урожая второго поля вычисляется по формуле

S2(x)=3005x8000+4005(1x)6500=130000001000000x.

Функция S2(x) убывающая, значит, своё наибольшее значение она принимает при наименьшем возможном значении x, т. е. при x=0. Значит, второе поле следует целиком отдать под морковь, урожай с него принесёт фермеру 13000000 рублей.

Таким образом, максимально возможный доход фермера составляет 29000000 рублей.

Ответ: 29000000 руб.

Задача 18 — 4 балла, 35 минут

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых множество значений функции y=a+3xaxx2+2ax+a2+1 содержит отрезок [0;1].

Решение

Перепишем функцию в виде

y=a+(3a)x(x+a)2+1.

Поскольку знаменатель не обращается в нуль, то данная функция является непрерывной, а, следовательно, если она принимает значения 0 и 1, то она принимает все значения из отрезка [0;1].

Из уравнения

a+(3a)x(x+a)2+1=0

 следует, что (a3)x=a. Данное уравнение имеет решение при любом a3.

Решим уравнение y(x)=1. Оно равносильно уравнению x2+3(a1)x+a2a+1=0, которое имеет решение, если его дискриминант неотрицателен.

D=9(a1)24(a2a+1)05a214a+50,

откуда

a(;7265][7+265;+).

Ответ: a7265, 7+265a<3, a>3.

Задача 19 — 4 балла, 40 минут

Красный карандаш стоит 17 рублей, синий — 13 рублей. Нужно купить карандаши, имея всего 495 рублей и соблюдая дополнительное условие: число синих карандашей не должно отличаться от числа красных карандашей больше, чем на 5.

а) Можно ли купить при таких условиях 32 карандаша?

б) Можно ли купить при таких условиях 35 карандашей?

в) Какое наибольшее число карандашей можно купить при таких условиях?

Решение

Пусть b, r — количество синих и красных карандашей соответственно. Запишем ограничения задачи: |br|5, 13b+17r495.

а) При b=17, r=15 ограничения соблюдены и b+r=32.

б) Пусть b+r=35, тогда r=35b, и ограничения перепишутся следующим образом: |2b35|5, 5954b495. Из второго неравенства следует, что b25, а из первого неравенства — 15b20, поэтому система в данном случае несовместна.

в) Пусть b+r=m, тогда r=mb. Как и в пункте б), получим систему неравенств:

{17m4b495,|2bm|5.

Решением второго неравенства системы является m52bm+52.

Решением первого неравенства является b17m4954. Чтобы система была совместна, должно выполняться неравенство 17m4954m+52, откуда m1013. Учитывая, что m есть целое число, то m33. При этом случай m=33 возможен (например, если купить 16  красных и 17 синих карандашей).

Ответ: а) да; б) нет; в) 33.

Альтернативное решение

а) Нетрудно проверить, что купив 18 синих карандашей и 14 красных, мы выполним условия задачи.

б) Пусть мы купим 35 синих карандашей, тогда мы потратим 455 рублей. Добавив 4 рубля, мы сможем заменить синий карандаш на красный. После покупки 35 синих карандашей, у нас останется 40 рублей, на которые мы можем заменить не больше 10 синих карандашей на красные. Что не позволяет выполнить дополнительно условие (так как у нас будет 25 синих и 10 красных карандашей).

в) Поскольку синие карандаши дешевле красных и нас интересует наибольшее количество карандашей, то выгоднее купить синих карандашей больше, чем красных. На 495 рублей мы сможем купить не более, чем 38 синих карандашей. Заметим, что, не купив один синий карандаш, мы можем на сэкономленные деньги «превратить» 314 имеющихся синих карандаша в красные. То есть, уменьшив количество покупаемых синих карандашей на 1, мы, после «превращения», уменьшим разность между количеством синих и красных карандашей на 1+314+314. Первоначальная разность между количеством синих и количеством красных равна 38. Поэтому нам надо отказаться от покупки 381+612=5115 карандашей. Если мы купим 33 карандаша, то наибольшее количество красных карандашей из них будет равно 16, что подходит под условие задачи.

Ответ: а) да; б) нет; в) 33.

Хотите получать уведомления о новых статьях в блоге? Подпишитесь на обновления.