Тренировочный вариант профильного ЕГЭ 2019 № 2

Тренировочный вариант профильного ЕГЭ по математике и все решения взяты из нашего приложения Ботанмэн.

Хотите научиться решать все задачи ЕГЭ и получить максимум баллов — Ботанмэн даст много теории с тренингом, видеолекций с вебинарами и многое другое.

Полностью индивидуальное обучение онлайн. Посмотрите сами, это бесплатно!

Очень полезный ролик с нашего канала YouTube. Каждую неделю мы проводим вебинары и делаем новые ролики. Подписывайся!

Задача 1 — 1 балл, 2 минуты

1 киловатт-час электроэнергии стоит 1 руб. 60 коп. 1 ноября счётчик электроэнергии показывал: 32 544 киловатт-часа, а 1 декабря — 32 726 киловатт-часов. Сколько рублей нужно заплатить хозяину квартиры за электроэнергию за ноябрь?

Решение

Расход электроэнергии за ноябрь составляет 3272632544=182 киловатт-часа. Хозяину квартиры нужно заплатить 1821,6=291,2 рубля.

Ответ: 291,2.

Задача 2 — 1 балл, 2 минуты

На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трёх суток. По горизонтали указывается дата и время, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку наименьшую температуру воздуха 23 января. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Решение

Из графика видно, что 23 января наименьшая температура воздуха составляла 22°C.

Ответ: 22.

Задача 3 — 1 балл, 2 минуты

Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (0;0), (10;8), (8;10).

Решение

Площадь треугольника равна разности площади квадрата и площадей трёх прямоугольных треугольников:

S=1010121081210812(108)(108)=10040402=18.

Ответ: 18.

Задача 4 — 1 балл, 3 минуты

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Решение

Вероятность того, что выбрана неисправная батарейка и она будет забракована, равна 0,020,99=0,0198, а если выбрана исправная, то вероятность равна (10,02)0,01=0,980,01=0,0098. Искомая вероятность равна 0,0198+0,0098=0,0296.

Ответ: 0,0296.

Задача 5 — 1 балл, 3 минуты

Найдите корень уравнения log5(5x)=log53.

Решение

Сделав последовательные преобразования, найдём корень уравнения:

log5(5x)=log53, 5x=3, x=2.

Ответ: 2.

Очень полезный ролик с нашего канала YouTube. Каждую неделю мы проводим вебинары и делаем новые ролики. Подписывайся!

Задача 6 — 1 балл, 3 минуты

Боковая сторона равнобедренной трапеции равна её меньшему основанию, угол при основании равен 60°, большее основание равно 40. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

Решение

В трапеции углы, прилежащие к боковой стороне, в сумме дают 180°. Тогда

ADC=BCD=180°BAD=180°60°=120°.

Т. к. треугольник ADC равнобедренный, то

DAC=DCA=180°ADC2=180°120°2=60°2=30°.

Дальше получаем, что

ACB=BCDACB=120°30°=90°.

Значит, хорда является диаметром окружности, т. к. на неё опирается вписанный прямой угол ACB. Тогда r=AB2=402=20.

Ответ: 20.

Задача 7 — 1 балл, 5 минут

Движение автомобиля во время торможения описывается формулой S(t)=36t5t2, где S — путь в метрах, t — время в секундах. Сколько секунд автомобиль будет двигаться с момента начала торможения до его полной остановки?

Решение

Поскольку скорость автомобиля — это первая производная перемещения по времени, то

v(t)=S(t)=3610t.

Полная остановка автомобиля произойдёт в тот момент, когда его скорость будет равна нулю, то есть

v(t)=3610t=0.

Отсюда находим t=3610=3,6 — это и есть время, которое будет двигаться автомобиль с момента начала торможения до его полной остановки.

Ответ: 3,6.

Задача 8 — 1 балл, 5 минут

Дано два цилиндра. Объём первого цилиндра равен 22. У второго цилиндра высота в 3 раза больше, а радиус основания в 2 раза меньше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра.

Решение

Объём первого цилиндра вычисляем по формуле V1=πr2H. С учётом условия задачи объём второго цилиндра равен:

V2=π(r2)23H=3πr2H4=3422=332=16,5.

Ответ: 16,5.

Задача 9 — 1 балл, 5 минут

Вычислите (101810161019)9.

Решение

Воспользовавшись свойствами степени, получим:

(10181016·1019)9=(101181016+19)9=(10118(16+19))9=(10418)9=104·918=102=0,01.

Ответ: 0,01.

Задача 10 — 1 балл, 5 минут

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле h=5t2, где h — расстояние в метрах, t — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 0,6 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,2 с? Ответ выразите в метрах.

Решение

До дождя расстояние равнялось h=5(0,6)2=50,36=1,8 метра. Поскольку после дождя уровень воды повысился, то время падения камешков уменьшилось и стало равным 0,60,2=0,4 с. Поэтому расстояние до воды после дождя стало равным: h=5(0,4)2=50,16=0,8 метра. Отсюда находим изменение уровня воды: 1,80,8=1 метр.

Ответ: 1.

Очень полезный ролик с нашего канала YouTube. Каждую неделю мы проводим вебинары и делаем новые ролики. Подписывайся!

Задача 11 — 1 балл, 10 минут

Иван и Алексей договорились встретиться в городе A, поехав разными дорогами. Иван звонит Алексею и узнает, что тот находится на расстоянии 168 км от города A и едет с постоянной скоростью 72 км/ч. Иван в это время находится в 165 км от места встречи и еще по дороге должен сделать 30-минутную остановку. С какой скоростью должен ехать Иван, чтобы прибыть в город A одновременно с Алексеем?

Решение

Искомую скорость Ивана обозначим за x.

Для решения задачи воспользуемся формулой S=vt, отсюда t=Sv. Значит, Алексей доберется до места встречи за t1=16872=73 ч. Следовательно, можно определить время, которое должен потратить на дорогу Иван, не считая времени остановки:

t2=t112=7312=116 ч.

Таким образом, он должен ехать со скоростью

x=16511/6=165611=90 км/ч.

Ответ: 90.

Задача 12 — 1 балл, 10 минут

Найдите точку минимума функции y=(12x)cosx+2sinx+3, принадлежащую промежутку (0;π2).

Решение

Найдём производную функции:

y=(12x)cosx+(12x)(cosx)+(2sinx)+(3),
y=2cosx+(12x)(sinx)+2cosx,
y=(2x1)sinx.

Найдём точки, подозрительные на экстремум. Для этого решим уравнение y=0.

(2x1)sinx=0.

Поскольку sinx>0 при x(0;π2), то уравнение равносильно уравнению 2x1=0.

Воспользовавшись достаточным условием экстремума, получим что x=0,5 — точка локального минимума.

Ответ: 0,5.

Задача 13 — 2 балла, 10 минут

а) Решите уравнение cos2x2sin2x2=sin(π22x).

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку [π;5π2].

Решение

а) Преобразуем уравнение, получим cosx=cos2x. Значит, x=2x+2πn или x=2x+2πk, где n,k. В первом случае x=2πn, во втором случае x=2πk3, где k. Первая серия решений входит во вторую (при k=3n).

б) Найдём, какие корни принадлежат отрезку [π;5π2].

π2πk35π2    32k154    k=2 и k=3.

Получаем корни 4π3 и 2π.

Ответ: а) 2πk3, k; б) 4π3, 2π.

Задача 14 — 2 балла, 20 минут

В правильной четырёхугольной пирамиде PABCD, все ребра которой равны 4, точка K ― середина бокового ребра AP.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку K и параллельной прямым PB и BC.

б) Найдите площадь сечения.

Решение

а) В плоскости APB через точку K проведём прямую, параллельную прямой PB до пересечения ее с прямой AB в точке L, а в плоскости ABC через точку L проведём прямую, параллельную прямой BC до пересечения ее с прямой CD в точке M. По признаку параллельности прямой и плоскости плоскость KLM параллельна прямым PB и BC. Прямая LM параллельна прямой AD, следовательно, она параллельна плоскости APD, а, значит, плоскость KLM пересекает плоскость APD по прямой, параллельной LM. Обозначим через N точку пересечения этой прямой с ребром PD.

Таким образом, искомое сечение ― трапеция KLMN.

б) Отрезки KL и MN равны, как средние линии равных правильных треугольников ABP и DCP, а отрезок LM ― средняя линия квадрата ABCD, следовательно, построенное сечение ― равнобедренная трапеция, в которой LM = 4, KL = KN = MN = 2. Проведем высоту KF этой трапеции. Тогда

LF=LMKN2=1,

и из прямоугольного треугольника KLF находим

KF=KL2LF2=3.

Окончательно получаем

SKLMN=LM+KN2KF=33.

Ответ: б)  33.

Задача 15 — 2 балла, 15 минут

Решите неравенство: log11(x1)2(x2+5x+8x23x+2)0.

Решение

Найдем область допустимых значений переменной:

{x2+5x+8x23x+2>0,11(x1)2>0    {x2+5x+8(x1)(x2)>0,(x1)2>1  
  {x2+5x+8(x1)(x2)>0,x(x2)>0    {x(;1)(2;+),x(;0)(2;+).

Значит, x(;0)(2;+).

Преобразуем левую часть неравенства согласно свойству логарифмов

logabc=logablogac

и учитывая, что числитель и знаменатель подлогарифмического выражения положительны на области допустимых значений. Таким образом,

log11(x1)2(x2+5x+8x23x+2)=log11(x1)2(x2+5x+8)log11(x1)2(x23x+2).

Воспользуемся методом замены множителей, то есть выполним замену вида

(loga(x)f(x)loga(x)g(x))(a(x)1)(f(x)g(x))

с учётом того, что данные выражения имеют на области допустимых значений переменной одинаковые знаки.

Тогда исходное неравенство примет следующий вид:

(1(x1)2)(8x+6)0    4x+3(x1)20,

а значит, x[34;1)(1;+).

Учитывая область определения исходного неравенства, записанную выше, получаем ответ: x[34;0)(2;+).

Ответ: [34;0)(2;+).

Очень полезный ролик с нашего канала YouTube. Каждую неделю мы проводим вебинары и делаем новые ролики. Подписывайся!

Задача 16 — 3 балла, 25 минут

Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.

а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

Решение

а) Обозначим за O1 и O2 центры окружностей (см. рис.). Проведём через точку K касательную к окружностям, точку её пересечения с прямой AB обозначим точкой L. Отрезки LA, LK и LB равны (как отрезки касательных к окружностям, проведённых из одной точки). Отсюда следует, что треугольник AKB прямоугольный и AKB=90°. Тогда

DKC=AKD=CKB=90°.

Следовательно, отрезки AD и BC являются диаметрами окружностей O1 и O2 соответственно и проходят через их центры.

Тогда ADAB и BCAB. Следовательно, прямые AD и BC параллельны.

б) Пусть первая окружность имеет радиус 4, а вторая — радиус 1. Углы ADK и CBK равны как накрест лежащие при параллельных прямых и их секущей. Тогда треугольники AKD и BKC подобны и 

DKBK=41.

Обозначим площадь треугольника BKC за S. Тогда SAKD=16S.

Треугольники AKD и AKB имеют общую высоту, следовательно,

SAKDSAKB=DKKB=4,

т. е. SAKB=4S. Аналогично получим, что SCKD=4S. Тогда площадь трапеции ABCD равна 25S.

Для того, чтобы вычислить площадь трапеции ABCD, опустим перпендикуляр O2H на прямую AD. Из прямоугольного треугольника O2HO1 получим

O2H=O1O22O1H2=4.

Тогда

SABCD=AD+BC2AB=20.

Следовательно, 25S=20, откуда S=0,8 и SAKB=4S=3,2.

Ответ: б) 3,2.

Задача 17 — 3 балла, 35 минут

Михаил взял в кредит в банке 331000 рублей на три месяца под 10% в месяц. Существуют две схемы выплаты кредита.

По первой схеме банк в конце каждого месяца начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Михаил выплачивает банку фиксированную сумму и в результате выплачивает весь долг тремя равными платежами (аннуитетные платежи).

По второй схеме сумма долга в конце каждого месяца увеличивается на 10%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Михаилом. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину (дифференцированные платежи). Какую схему выгоднее выбрать Михаилу? Сколько рублей будет составлять эта выгода?

Решение

Рассмотрим первую схему выплаты кредита. Пусть x — величина ежемесячного платежа Михаила. Ниже в таблице приведены расчёты всех платежей по кредиту.

После третьего платежа долг будет выплачен полностью, поэтому 4405613,31x=0, отсюда x=133100 руб.

Значит, за три месяца Михаил выплатит банку 1331003=399300 руб.

При выплате кредита по второй схеме Михаил ежемесячно будет выплачивать 13 от основной суммы кредита и начисляемые за текущий месяц проценты. Тогда сумма долга будет убывать равномерно. Схема платежей приведена в таблице

Таким образом, за три месяца Михаил выплатит основную сумму кредита в 331000 рублей плюс 33100+662003+331003=66200 рублей в виде процентов по кредиту. В итоге банку будет выплачена сумма в 331000+66200=397200 рублей, что на 2100 рублей меньше, чем при первой схеме выплат.

Ответ: вторая схема выгоднее на 2100 рублей.

Задача 18 — 4 балла, 35 минут

Найдите все значения a, для каждого из которых существует хотя бы одна пара чисел x и y, удовлетворяющих неравенству 5|x2|+3|x+a|4y2+7.

Решение

Неравенство будет иметь хотя бы одно решение, если наименьшее значение функции, стоящей в левой части неравенства не превосходит наибольшего значения функции, стоящей в правой части неравенства. В левой части находится функция, которая убывает при x<2 и возрастает при x>2, поэтому её наименьшее значение достигается при x=2 и равно 3|a+2|. Т. к. наибольшее значение функции, стоящей в правой части неравенства, достигается при y=0 и равно 9, то для всех значений a, при которых выполняется неравенство 3|a+2|9, исходное неравенство будет иметь хотя бы одно решение.

Ответ: 5a1.

Задача 19 — 4 балла, 40 минут

Каждое из чисел a1, a2, , a350 равно 1, 2, 3 или 4. Обозначим S1=a1+a2+...+a350, S2=a12+a22+...+a3502, S3=a13+a23+...+a3503, S4=a14+a24+...+a3504.

Известно, что S1=513.

а) Найдите S4, если еще известно, что S2=1097, S3=3243.

б) Может ли S4=4547?

в) Пусть S4=4745. Найдите все значения, которые может принимать S2.

Решение

Пусть количества единиц, двоек, троек и четвёрок среди a1,,a350 равны x1, x2, x3 и x4 соответственно. Тогда x1+x2+x3+x4=350 и x1+2x2+3x3+4x4=513.

а) По условию, получаем систему:

{x1+x2+x3+x4=350x1+2x2+3x3+4x4=513x1+4x2+9x3+16x4=1097x1+8x2+27x3+64x4=3243    {x1=282x2=7x3=27x4=34

Тогда S4=282+167+8127+25634=11285.

б) Если S4=4547, то S4350=15m2+80m3+255m4. Правая часть кратна 5, а левая — нет, поэтому S4 не может быть равным 4547.

в) Рассмотрим систему

{x1+x2+x3+x4=350x1+2x2+3x3+4x4=513x1+16x2+81x3+256x4=4745    {x1=226115x4x2=85+275x4x3=39215x4

Поскольку x1, x2, x3, x4 — целые неотрицательные числа, то x4 кратен 5 и из последней строчки следует, что x4=0 или x4=5.

Если x4=0, то x1=226, x2=85, x3=39 и S2=917.

Если x4=5, то x1=215, x2=112, x3=18 и S2=905.

Ответ: а) 11285; б) нет; в) 905 или 917.

Хотите получать уведомления о новых статьях в блоге? Подпишитесь на обновления.