Тренировочный вариант профильного ЕГЭ 2019 №1

Тренировочный вариант профильного ЕГЭ по математике и все решения взяты из нашего приложения Ботанмэн.

Хотите научиться решать все задачи ЕГЭ и получить максимум баллов — Ботанмэн даст много теории с тренингом, видеолекций с вебинарами и многое другое.

Полностью индивидуальное обучение онлайн. Посмотрите сами, это бесплатно!

Очень полезный ролик с нашего канала YouTube. Каждую неделю мы проводим вебинары и делаем новые ролики. Подписывайся!

Задача 1 — 1 балл, 2 минуты

Одного рулона обоев хватает для оклейки полосы от пола до потолка шириной 1,5 м. Сколько рулонов обоев нужно купить для оклейки прямоугольной комнаты размером 3,4 м на 4,8 м?

Решение

Периметр комнаты составляет 2(3,4+4,8)=28,2=16,4 м. Поделим 16,4 на 1,5: 16,41,5=16415=101415. Округлим в большую сторону.

Ответ: 11.

Задача 2 — 1 балл, 2 минуты

На графике изображена зависимость температуры от времени в процессе разогрева двигателя легкового автомобиля. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат — температура двигателя в градусах Цельсия. Определите по графику, за сколько минут двигатель нагреется с 40 °C до 50 °C.

Решение

Из графика видно, что до температуры 40 °C двигатель нагрелся за две минуты, а до температуры 50 °C — за три минуты. Разность равна одной минуте.

Ответ: 1.

Задача 3 — 1 балл, 2 минуты

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см изображён четырёхугольник. Найдите его площадь. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение

Площадь четырёхугольника равна разности площади прямоугольника и площадей трёх прямоугольных треугольников:

S=86123312531263=48921529= 
=39242=3912=27 см2.

Ответ: 27.

Задача 4 — 1 балл, 3 минуты

В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 16. Результат округлите до сотых.

Решение

Число всевозможных исходов равно 666=216. Число исходов, при которых в результате броска на трёх игральных костях в сумме выпадет 16 очков, равно 6:

16=6+6+4=6+5+5=6+4+6=5+6+5=5+5+6=4+6+6.

Искомая вероятность равна 6216=1360,03.

Ответ: 0,03.

Задача 5 — 1 балл, 3 минуты

Найдите корень уравнения log2(4+x)=2.

Решение

Выполнив последовательные преобразования, найдём корень уравнения:

log2(4+x)=2, 4+x=22, 4+x=4, x=0.

Ответ: 0.

Очень полезный ролик с нашего канала YouTube. Каждую неделю мы проводим вебинары и делаем новые ролики. Подписывайся!

Задача 6 — 1 балл, 3 минуты

Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 80° и 60°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение

У вписанного в окружность четырёхугольника сумма противоположных углов равна 180°. Сумма двух углов, данных в условии, не равна 180°. Значит, больший из оставшихся двух углов лежит напротив угла 60° и он равен 180°60°=120°.

Ответ: 120.

Задача 7 — 1 балл, 5 минут

Функция определена на отрезке [2;4]. На рисунке дан график её производной. Найдите абсциссу точки графика функции y=f(x), в которой она принимает наименьшее значение.

Решение

Функция y=f(x) имеет экстремум в точке x=1, причём эта точка является точкой минимума, поскольку при переходе через неё производная меняет знак с минуса на плюс.

Слева от этой точки производная всюду отрицательна, а справа — положительна, значит, в точке x=1 функция y=f(x) принимает наименьшее значение.

Ответ: 1.

Задача 8 — 1 балл, 5 минут

Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение

Площадь поверхности многогранника равна сумме площадей всех граней:

S=2(5422)+54+44+34+24+24+24=104.

Ответ: 104.

Задача 9 — 1 балл, 5 минут

Найдите значение выражения log33133.

Решение

Сначала вычислим значение логарифма log3(13)3, а затем возведём его в куб.

Преобразуем указанный логарифм, воспользовавшись свойствами логарифмов:

log3(13)3=312(log313)=6.

Затем возведём число 6 в куб, получим 216.

Ответ: -216.

Задача 10 — 1 балл, 5 минут

Компания продаёт свою продукцию по цене p=500 руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют ν=300 руб., постоянные расходы предприятия f=700000 руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле π(q)=q(pv)f. Определите наименьший месячный объём производства q (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет не меньше 300000 руб.

Решение

По условию задачи нужно найти наименьшее решение неравенства:

π(q)=q(pv)f300000.

Подставим значения в формулу:

π(q)=q(500300)700000=200q700000.

Решим неравенство:

200q700000300000, 200q1000000, q5000.

Отсюда наименьший месячный объём производства q=5000 единиц продукции.

Ответ: 5000.

Очень полезный ролик с нашего канала YouTube. Каждую неделю мы проводим вебинары и делаем новые ролики. Подписывайся!

Задача 11 — 1 балл, 10 минут

Расстояние между пристанями A и B равно 120 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот проплыл 24 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение

Собственную скорость яхты обозначим за x км/ч. Скорость плота равна скорости течения реки, т. е. 2 км/ч. Когда яхта плывет из пункта А в пункт В, ее скорость равна сумме собственной скорости и скорости течения, т. е. (х+2) км/ч. На обратном пути её скорость равна (х-2) км/ч.

Известно, что яхта преодолела расстояние в 1202=240 км, а плот проплыл 24 км, при этом плот был в пути на час дольше, чем яхта.

Время, затраченное на путь яхтой, состоит из времени при движении по течению и против:

t1=120х+2+120х2.

Время движения плота равно t2=242=12 ч. Поскольку плот был в пути на час дольше, составим уравнение:

120х+2+120х2=11.

После приведения дробей к общему знаменателю и приведения подобных получим

11x2240x44(x2)(x+2)=0.

Корни квадратного уравнения x1=211 и x2=22. Первый корень является посторонним, поскольку согласно физическому смыслу задачи x>0. Таким образом, скорость яхты в неподвижной воде равна 22 км/ч.

Ответ: 22.

Задача 12 — 1 балл, 10 минут

Найдите наименьшее значение функции y=(x27)ex26 на отрезке [25;27].

Решение

Найдём производную функции:

y'=(x27)'ex26+(x27)(ex26)',
y=ex26+(x27)ex26.

Найдём точки, подозрительные на экстремум. Для этого решим уравнение y=0:

ex26(1+x27)=0.

Поскольку ex26>0, то уравнение равносильно уравнению x26=0.

Воспользовавшись достаточным условием экстремума, получим что x=26 — точка глобального минимума

Поэтому

minx[25;27]y=y(26)=(2627)e2626=-1.

Ответ: -1.

Задача 13 — 2 балла, 10 минут

а) Решите уравнение sin2x+2sinx=3cosx+3.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π;3π2].

Решение

а) sin2x+2sinx=3cosx+32sinx(cosx+1)=3(cosx+1)

(cosx+1)(2sinx3)=0.

Решениями уравнения cosx=1 являются x=π+2πk, k.

Решениями уравнения sinx=32 являются две серии: x=π3+2πn и x=2π3+2πm, n,m.

б) Для отбора корней воспользуемся тригонометрической (единичной) окружностью.

Указанному отрезку принадлежат корни 3π и 5π3.

Ответ: а) π+2πk, π3+2πn, 2π3+2πm, k,n,m; б) 3π, 5π3.

Задача 14 — 2 балла, 20 минут

В основании правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит треугольник со стороной 6. Высота призмы равна 4. Точка N — середина ребра A1C1.

а) Постройте сечение призмы плоскостью BAN.

б) Найдите периметр этого сечения.

Решение

а) Т. к. секущая плоскость проходит через прямую AB, параллельную плоскости A1B1C1, то секущая плоскость пересекает плоскость A1B1C1 по прямой, параллельной прямой AB. Отсюда ясно, как надо строить сечение. Проведём через точку N прямую, параллельную прямой AB, до пересечения с прямой B1C1 в точке K. Трапеция ABKN — искомое сечение.

б) Имеем A1N=3, так как точка N — середина ребра A1C1. Значит, AN=16+9=5. Аналогично BK =5.

Далее NK =3, как средняя линия треугольника A1B1C1. Следовательно, искомый периметр сечения равен 6+5+5+3=19.

Ответ: б) 19.

Задача 15 — 2 балла, 15 минут

Решите неравенство: 2log(x26x+10)2(5x2+3)logx26x+10(4x2+7x+3).

Решение

Найдём область допустимых значений переменной:

{x26x+10>0,5x2+3>0,4x2+7x+3>0,x26x+101    {(x+1)(x+34)>0,x26x+90    {x(;1)(34;+),x3.

Преобразуем левую часть неравенства, используя свойство логарифмов:

logabc=1blogac.

С учётом области допустимых значений, будем иметь:

2log(x26x+10)2(5x2+3)=logx26x+10(5x2+3).

Перенесём оба логарифма в левую часть неравенства:

logx26x+10(5x2+3)logx26x+10(4x2+7x+3)0.

Воспользуемся методом замены множителей, идея которого состоит в выполнении замены вида

(loga(x)f(x)loga(x)g(x))(a(x)1)(f(x)g(x)),

с учётом того, что данные выражения имеют на области допустимых значений переменной одинаковые знаки.

Таким образом, неравенство примет вид (x26x+9)(x27x)0, или, после разложения на множители, x(x3)2(x7)0.

Решая его, получаем x[0;7]. Учитывая область определения, исходного неравенства, записанную выше, получаем ответ: x[0;3)(3;7].

Ответ: [0;3)(3;7].

Очень полезный ролик с нашего канала YouTube. Каждую неделю мы проводим вебинары и делаем новые ролики. Подписывайся!

Задача 16 — 3 балла, 25 минут

Точка M лежит на стороне BC выпуклого четырехугольника ABCD, причем B и C — вершины равнобедренных треугольников с основаниями AM и DM соответственно, а прямые AMи MD перпендикулярны.

а) Докажите, что биссектрисы углов при вершинах B и C четырехугольника ABCD пересекаются на стороне AD.

б) Пусть N — точка пересечения этих биссектрис. Найдите площадь четырехугольника ABCD, если известно, что BM:MC=1:3, а площадь четырехугольника, стороны которого лежат на прямых AM, DM, BN и CN, равна 18.

Решение

а) Пусть P — точка пересечения биссектрисы угла при вершине B четырехугольника ABCD с прямой AM, а Q — точка пересечения биссектрисы угла при вершине C четырехугольника ABCD с прямой DM.

Треугольник ABM — равнобедренный, значит, BP является в то же время его высотой и медианой. Пусть N — точка пересечения продолжения прямой BP с прямой AD. Прямые BN и MD параллельны, так как перпендикулярны одной прямой MP. Тогда PN является средней линией прямоугольного треугольника AMD, следовательно, точка N проходит через середину AD. Аналогично получим, что продолжение биссектрисы CQ проходит через середину AD. Таким образом, получаем, что биссектрисы углов при вершинах B и C четырехугольника ABCD пересекаются на стороне AD.

б) Четырехугольником, стороны которого лежат на прямых AM, DM, BN и CN, является прямоугольник PMQN (см. рисунок).

Из параллельности прямых BN и MD следует, что углы PBM и QMC равны как соответственные, следовательно, треугольники BPM и MQC подобны по двум углам. Тогда можно записать следующие соотношения:

BPPN=BPMQ=BMMC=13, MPCQ=13.

Найдем площади треугольников ABM, DCM и DMA:

SABM=12BPAM=BPMP=PN3MP=SPMQN3=6,
SDCM=12CQMD=CQMQ=3MPMQ=3SPMQN=318=54,
SDMA=12AMMD=2PMMQ=2SPMQN=218=36.

Тогда искомая площадь

SABCD=SABM+SDCM+SDMA=6+54+36=96.

Ответ: б) 96.

Задача 17 — 3 балла, 35 минут

Василий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 3t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 4t единиц товара.

За каждый час работы (на каждом из заводов) Василий платит рабочему 400 рублей. Василий готов выделять 4000000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Решение

Пусть рабочие первого завода будут трудиться x2 часов в неделю, рабочие второго завода — y2 часов в неделю. Тогда на обоих заводах за неделю в сумме будет произведено A=3x+4y единиц товара. При этом на зарплату рабочим будет потрачено 400(x2+y2)=4000000 рублей, отсюда получаем, что x2+y2=10000.

Таким образом, задача сведена к поиску наибольшего возможного значения функции A=3x+4y при условии x2+y2=10000.

Имеем y=A43x4, тогда x2+(A43x4)2=10000, или, после раскрытия скобок и умножения обеих частей уравнения на 16,

25x26Ax+(A2160000)=0.

Рассматривая это уравнение как квадратное относительно x, находим его дискриминант: D4=9A225(A2160000), который должен быть неотрицательным, чтобы уравнение имело решения в действительных числах. Отсюда получаем 9A225(A2160000)0, значит, 16A24000000, или A2250000, значит, 500A500.

Отсюда видно, что наибольшее возможное значение A равно 500.

При этом x=3A25=60, тогда y=A43x4=80, значит, на каждом из заводов рабочие будут трудиться целое (натуральное) количество часов, и количество единиц товара, выпущенное каждым заводом, также выражается натуральным числом, значит, решение задачи корректно.

Ответ: 500.

Задача 18 — 4 балла, 35 минут

Найдите все неотрицательные значения a, при каждом из которых множество решений неравенства

12a+x24log1/3(4a24a+9)518x4+7x2+2a+4+log1/32(4a24a+9)

состоит из одной точки, и найдите это решение.

Решение

Заметим, что в правой части неравенства стоит чётная по x функция. Поэтому, если x0 является решением неравенства при каком-то значении a, то и x0 так же является решением. Поэтому x=0 единственный вариант, чтобы решение неравенства состояло из одной точки.

Обозначим для удобства через A=log1/3(4a24a+9). Найдем значения a, при которых неравенство будет верно при x=0.

Подставив x=0 в исходное неравенство, получим следующее неравенство:

12a4A2a+4+A2.

Решим его относительно a.

12a4A2a+4+A20    4+A2+4A2a+4+A20    (A+2)22a+4+A20.

Т. к. по условию a0, то знаменатель положителен и неравенство имеет решение лишь при A=2.

A=2    log1/3(4a24a+9)=2  
  log1/3(4a24a+9)=log1/39    4a24a=0.

Откуда a=0 или a=1.

Решим исходное неравенство при a=0.

1x2+8518x4+7x2+8
x2+8518x4+7x2+8
x425(18x4+7x2)
x2((12518)x27)0
x2((25181)x2+7)0

Решение последнего неравенства: x=0.

Теперь решим исходное неравенство при a=1.

1x2+10518x4+7x2+10
x2+10518x4+7x2+10
x425(18x4+7x2)

Как было показано выше, решение этого неравенства: x=0.

Ответ: a{0,1}, x=0.

Задача 19 — 4 балла, 40 минут

На доске написаны числа 2 и 3. За один ход два числа a и b, записанных на доске заменяется на два числа: a+b и 2a1 или a+b и 2b1.

Пример: числа 2 и 3 заменяются на 5 и 3, или на 5 и 5, соответственно.

а) Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из чисел, написанных на доске, окажется числом 19.

б) Может ли после 50 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, оказаться числом 100.

в) Сделали 2015 ходов, причём на доске никогда не было написано одновременно двух равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел?

Решение

а) (2,3)(5,5)(10,9)(19,17).

б) Заметим, что сумма чисел на доске увеличивается на 2a13 или 2b13 (поскольку число 1 на доске никогда не появится). Значит, после 49 ходов сумма станет минимум 5+493>100. Поэтому после пятидесятого хода a+b100. В то же время 2a1100 и 2b1100 потому что левая часть нечётна, а правая чётна.

в) После хода разность чисел становится равна ba+1 или ab+1. Поэтому модуль разности чисел меняется на 1. Изначально он был равен 1, поэтому после 2015 ходов он будет чётным. Значит, он равен как минимум двум.

Приведём пример. Первым ходом получим пару (5;3), а затем каждые два хода будем получать ситуацию, в которой числа отличаются на 2 (и никогда в процессе не будут равны):

(x+2,x)(2x+2,2x+3)(4x+5,4x+3).

Повторяя эти действия, получим в итоге два числа с разностью 2.

Ответ: а) (2,3)(5,5)(10,9)(19,17), б) нет; в) 2.

Хотите получать уведомления о новых статьях в блоге? Подпишитесь на обновления.