Математика — это для всех! «Репетитор: математика»

Обобщённые теоремы подобия в прямоугольном треугольнике

Обобщённые теоремы подобия (ОТП) описывают геометрические свойства совокупности трёх и более треугольников.

Обобщённая теорема Пифагора

Высота CD прямоугольного ABC рассекает:

  • прямой угол на углы α и β (BCD=A=α, ACD=B=β),
  • исходный треугольник =ABC на подобные ему треугольники 1=CBD и 2=ACD.

Площади S1, S2, S подобных треугольников 1, 2, связаны операцией сложения:

S1+S2=S  1

Пусть x1, x2, x — линейные элементы треугольников 1, 2, . Тогда k1=x1x, k2=x2x — коэффициенты подобия. Из 1 имеем:

S1S+S2S=1, k12+k22=1, x12+x22=x2  2

Соотношения 1 и 2 — разные формы обобщенной теоремы Пифагора (через площади, коэффициенты подобия, линейные элементы).

Частные случаи

1) Если x=c — гипотенуза в ABC, то x1=a, x2=b — гипотенузы в CBD и ACD. Получаем частный случай — обычную теорему Пифагора для ABC:

a2+b2=c2.

2) Если x=r — радиус вписанной в ABC окружности, то сходственными ему элементами будут x1=r1 и x2=r2 — радиусы вписанных в CBD и ACD окружностей. Теорема 2 примет вид:

r12+r22=r2.

Обобщения

Возможны обобщения на произвольное число треугольников, если каждый из полученных треугольников снова рассекать высотой из его прямого угла.

Пример. Проведем DD1BC, DD2AC, D2D3AD. Получим шесть подобных прямоугольных треугольников (с острым углом α):

DBD1 ~CDD1 ~DCD2 ~D2DD3 ~AD2D3 ~ABC.

Пусть S1, S2, S3, S4, S5, S — их площади; x1, x2, x3, x4, x5, x — соответствующие линейные элементы.

Тогда

S1+S2+S3+S4+S5=S,
x12+x22+x32+x42+x52=x2.

Получили обобщённую теорему Пифагора для шести указаных треугольников.

Обсуждение

Прямой угол ACB в ABC с острыми углами α и β удачно рассекается высотой CD именно на углы α и β. Этот замечательный геометрический факт приводит:

  • к широко известным теоремам о средних геометрических:

    BC2=AB·BD, AC2=AB·AD, CD2=AD·BD

    (катет есть среднее геометрическое между гипотенузой и своей проекцией на неё; высота из вершины прямого угла есть среднее геометрическое между проекциями катетов на гипотенузу);
  • к недостаточно известным, но важным обобщённым теоремам подобия, а именно, к обобщённой теореме Пифагора для трёх и более треугольников.

Данной заметкой надеемся привлечь к ним внимание читателя. Рекомендуем подумать об обобщённых теоремах подобия в равнобедренном и произвольном треугольниках. Надеемся поговорить о них в следующих заметках.

Литература

  1. В. А. Тарасов. Обобщенные теоремы подобия. Математика, №40/97.
  2. В. А. Тарасов. Обобщенные теоремы подобия для четырех и более треугольников. Математика, №6/99.
  3. В. А. Тарасов. Об обобщенных теоремах подобия для n треугольников (n≥4). Избранные геометрические задачи. Вычислительный центр РАН, Москва, 1999.

Автор

Кандидат технических наук, репетитор со стажем более 45 лет, автор пособий по математике для школьников и учителей, лектор InternetUrok. ru (алгебра и геометрия, 7–11 классы).
Кандидат технических наук, репетитор со стажем более 45 лет, автор пособий по математике для школьников и учителей, лектор InternetUrok. ru (алгебра и геометрия, 7–11 классы).

Хотите получать уведомления о новых статьях в блоге? Подпишитесь на обновления.