Обобщённые теоремы подобия (ОТП) описывают геометрические свойства совокупности трёх и более треугольников.
Обобщённая теорема Пифагора
Высота прямоугольного рассекает:
- прямой угол на углы и (, ),
- исходный треугольник на подобные ему треугольники и .
Площади , , подобных треугольников , , связаны операцией сложения:
Пусть , , — линейные элементы треугольников , , . Тогда , — коэффициенты подобия. Из имеем:
Соотношения и — разные формы обобщенной теоремы Пифагора (через площади, коэффициенты подобия, линейные элементы).

Частные случаи
1) Если — гипотенуза в , то , — гипотенузы в и . Получаем частный случай — обычную теорему Пифагора для :
2) Если — радиус вписанной в окружности, то сходственными ему элементами будут и — радиусы вписанных в и окружностей. Теорема примет вид:
Обобщения
Возможны обобщения на произвольное число треугольников, если каждый из полученных треугольников снова рассекать высотой из его прямого угла.
Пример. Проведем , , . Получим шесть подобных прямоугольных треугольников (с острым углом ):
Пусть , , , , , — их площади; , , , , , — соответствующие линейные элементы.
Тогда
Получили обобщённую теорему Пифагора для шести указаных треугольников.

Обсуждение
Прямой угол в с острыми углами и удачно рассекается высотой именно на углы и . Этот замечательный геометрический факт приводит:
- к широко известным теоремам о средних геометрических:
, ,
(катет есть среднее геометрическое между гипотенузой и своей проекцией на неё; высота из вершины прямого угла есть среднее геометрическое между проекциями катетов на гипотенузу); - к недостаточно известным, но важным обобщённым теоремам подобия, а именно, к обобщённой теореме Пифагора для трёх и более треугольников.
Данной заметкой надеемся привлечь к ним внимание читателя. Рекомендуем подумать об обобщённых теоремах подобия в равнобедренном и произвольном треугольниках. Надеемся поговорить о них в следующих заметках.
Литература
- В. А. Тарасов. Обобщенные теоремы подобия. Математика, №40/97.
- В. А. Тарасов. Обобщенные теоремы подобия для четырех и более треугольников. Математика, №6/99.
- В. А. Тарасов. Об обобщенных теоремах подобия для n треугольников (n≥4). Избранные геометрические задачи. Вычислительный центр РАН, Москва, 1999.
Автор
