Обобщённые теоремы подобия в прямоугольном треугольнике

Обобщённые теоремы подобия (ОТП) описывают геометрические свойства совокупности трёх и более треугольников.

Обобщённая теорема Пифагора

Высота $C D$ прямоугольного $△ A B C$ рассекает:

прямой угол на углы $α$ и $β$ ( $∠ B C D = ∠ A = α$ , $∠ A C D = ∠ B = β$ ),
исходный треугольник $△ = A B C$ на подобные ему треугольники $△_{1} = C B D$ и $△_{2} = A C D$ .

Площади $S_{1}$ , $S_{2}$ , $S$ подобных треугольников $△_{1}$ , $△_{2}$ , $△$ связаны операцией сложения:

S_{1} + S_{2} = S (1)

Пусть $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x$ — линейные элементы треугольников $△_{1}$ , $△_{2}$ , $△$ . Тогда $k_{1} = \frac{x_{1}}{x}$ , $k_{2} = \frac{x_{2}}{x}$ — коэффициенты подобия. Из $(1)$ имеем:

\frac{S_{1}}{S} + \frac{S_{2}}{S} = 1

{k_{1}}^{2} + {k_{2}}^{2} = 1

{x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = x^{2} (2)

Соотношения $(1)$ и $(2)$ — разные формы обобщенной теоремы Пифагора (через площади, коэффициенты подобия, линейные элементы).

Частные случаи

1) Если $x = c$ — гипотенуза в $△ A B C$ , то $x_{1} = a$ , $x_{2} = b$ — гипотенузы в $△ C B D$ и $△ A C D$ . Получаем частный случай — обычную теорему Пифагора для $△ A B C$ :

a^{2} + b^{2} = c^{2}

2) Если $x = r$ — радиус вписанной в $△ A B C$ окружности, то сходственными ему элементами будут $x_{1} = r_{1}$ и $x_{2} = r_{2}$ — радиусы вписанных в $△ C B D$ и $△ A C D$ окружностей. Теорема $(2)$ примет вид:

{r_{1}}^{2} + {r_{2}}^{2} = r^{2}

Обобщения

Возможны обобщения на произвольное число треугольников, если каждый из полученных треугольников снова рассекать высотой из его прямого угла.

Пример. Проведем $D D_{1} ⊥ B C$ , $D D_{2} ⊥ A C$ , $D_{2} D_{3} ⊥ A D$ . Получим шесть подобных прямоугольных треугольников (с острым углом $α$ ):

△ D B D_{1} ~ △ C D D_{1} ~ △ D C D_{2} ~ △ D_{2} D D_{3} ~ △ A D_{2} D_{3} ~ △ A B C

Пусть $S_{1}$ , $S_{2}$ , $S_{3}$ , $S_{4}$ , $S_{5}$ , $S$ — их площади; $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ , $x_{4}$ , $x_{5}$ , $x$ — соответствующие линейные элементы.

Тогда

S_{1} + S_{2} + S_{3} + S_{4} + S_{5} = S

{x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} + {x_{3}}^{2} + {x_{4}}^{2} + {x_{5}}^{2} = x^{2}

Получили обобщённую теорему Пифагора для шести указаных треугольников.

Обсуждение

Прямой угол $∠ A C B$ в $△ A B C$ с острыми углами $α$ и $β$ удачно рассекается высотой $C D$ именно на углы $α$ и $β$ . Этот замечательный геометрический факт приводит:

к широко известным теоремам о средних геометрических:

$B C^{2} = A B \cdot B D$ , $A C^{2} = A B \cdot A D$ , $C D^{2} = A D \cdot B D$

(катет есть среднее геометрическое между гипотенузой и своей проекцией на неё; высота из вершины прямого угла есть среднее геометрическое между проекциями катетов на гипотенузу);
к недостаточно известным, но важным обобщённым теоремам подобия, а именно, к обобщённой теореме Пифагора для трёх и более треугольников.

Данной заметкой надеемся привлечь к ним внимание читателя. Рекомендуем подумать об обобщённых теоремах подобия в равнобедренном и произвольном треугольниках. Надеемся поговорить о них в следующих заметках.

Литература

В. А. Тарасов. Обобщенные теоремы подобия. Математика, №40/97.
В. А. Тарасов. Обобщенные теоремы подобия для четырех и более треугольников. Математика, №6/99.
В. А. Тарасов. Об обобщенных теоремах подобия для n треугольников (n≥4). Избранные геометрические задачи. Вычислительный центр РАН, Москва, 1999.

Автор

Кандидат технических наук, репетитор со стажем более 45 лет, автор пособий по математике для школьников и учителей, лектор InternetUrok. ru (алгебра и геометрия, 7–11 классы).