Математика — это для всех! «Репетитор: математика»

4 метода решения одного стандартного неравенства. Выбираем лучший!

Очевидно, что несколько различных способов решения позволяют более глубоко проникнуть в тему, к которой относится данная задача.

Работа со школьниками показывает, что большинство из них не умеет аккуратно и быстро двигаться к ответу, не осознаёт для себя чёткую последовательность шагов для реализации своего плана решения.

Поэтому ниже мы рассмотрим четыре способа решения одного типового неравенства:

  1. методом интервалов для модулей;
  2. общим методом интервалов для неравенств;
  3. алгебраическое;
  4. методом рационализации (методом замены множителей).

Решите неравенство |x-1|-4|x+5|-1|x-3|-70  A.

Решение первое — методом интервалов для модулей

Шаг 1. Для каждого модуля находим значение переменной x, при которых подмодульное выражение равно нулю:

x-1=0    x1=1,

x+5=0    x2=-5,

x-3=0    x3=3.

Шаг 2. На числовой оси переменной x размещаем найденные на шаге 1 нули подмодульных выражений (см. рис. 1).

Рис. 1
Рис. 1

Шаг 3. Объявляем промежутки числовой прямой переменной x, на каждом из которых будем далее решать исходное неравенство A:

Первый промежуток (П1): (-;-5],

Второй промежуток (П2): [-5;1],

Третий промежуток (П3): [1;3],

Четвертый промежуток (П4): [3;+).

Замечание первое. Удобно промежутки объявлять на числовой прямой, если их немного (см. рис. 2):

Рис. 2
Рис. 2

Естественно, промежутки можно объявлять, включая нули подмодульных выражений в соседние промежутки (см. рис. 3):

Рис. 3
Рис. 3

Теперь важная реплика.

Обратите внимание, что при объявлении промежутков мы используем только знаки неравенств «<», «», что удобно мгновенно правильно сформулировать систему неравенств, решение совокупности которых равносильно исходному неравенству A.

Замечание второе. Концы промежутков в некоторых случаях лучше включать только в один из соседних промежутков. Например, в задачах с параметром можно допустить ошибку, подсчитав дважды одно и то же значение искомой переменной. Важно также понимать, что включая конец промежутка в оба промежутка, вы не допускаете ошибку при решении неравенства.

Шаг 4. Решаем исходное неравенство A на каждом из объявленных на шаге 3 числовом промежутке.

Предварительно на каждом промежутке в неравенстве A освобождаемся от знака модуля, согласно одному из его определений, например, такому:

|m|=m при m0,

|m|=-m при m0.

Имеем:

|x-1|=x-1 при x-10, т. е. при x1,

|x-1|=-x-1=1-x при x-10, т. е. при x1;
|x+5|=x+5 при x+50, т. е. при x-5,

|x+5|=-x+5=-x-5 при x+50, т. е. при x-5;
|x-3|=x-3 при x-30, т. е. при x3,

|x-3|=-x-3=3-x при x-30, т. е. при x3.

Итак, для объявленных промежутков получаем:

На (П1)  {|x-1|=1-x|x+5|=-x-5|x-3|=3-x,

На (П2)  {|x-1|=1-x|x+5|=x+5|x-3|=3-x,

На (П3)  {|x-1|=x-1|x+5|=x+5|x-3|=3-x,

На (П4)  {|x-1|=x-1|x+5|=x+5|x-3|=x-3.

Теперь мы готовы объявить совокупность четырёх систем неравенств, равносильную исходному неравенству A.

Итак,

A     [{x-51-x-4-x-5-13-x-70{-5x11-x-4x+5-13-x-70{1x3x-1-4x+5-13-x-70{3xx-1-4x+5-1x-3-70  
   [{x-5-x-3-x-6-x-40{-5x1-x-3x+4-x-40{1x3x-5x+4-x-40{3xx-5x+4x-100  
   [{x-5-1x+3-1x+6-1x+40{-5x1-1x+3x+4-1x+40{1x3x-5x+4-1x+40{3xx-5x+4x-100  
   [{x-5x+3x+6x+40{-5x1x+3x+420{1x3x-5x+420{3xx-5x+4x-100  !
!   [{x-5x+6x+4x+30{-5x1x+42x+30{1x3x+42x-50{3xx+4x-5x-100.

Почему мы поставили знак «! »? Потому что мы далее будем каждую систему решать на числовой оси переменной x и нам важно, чтобы нули линейных множителей располагались по их возрастанию.

{x-5x+6x+4x+30

Ответ: (-;-6].

{-5x1x+42x+30

Ответ: {-4}[-3;1].

{1x3x+42x-50

Ответ: [1;3].

{3xx+4x-5x-100

Ответ: [3;5][10;+).

Объединяя все ответы, получаем ответ неравенства A:

(-;-6]{-4}[-3;1][1;3][3;5][10;+)=
=(-;-6]{-4}[-3;5][10;+).

Ответ:  (-;-6]{-4}[-3;5][10;+).

Решение второе — общим методом интервалов для неравенств

Предварительная подготовка неравенства к применению этого метода заключается в том, что всё переносится влево (справа остаётся нуль), а затем левая часть обозначается fx.

У нас с самого начала левая часть равна нулю. Обозначим fx=|x-1|-4|x+5|-1|x-3|-7.

Теперь выполняем три стандартных шага.

Шаг 1. Находим область определения функции fx.

В нашем случае мгновенно видно, что Df=R.

Шаг 2. Находим нули функции fx.

Для этого нужно решить уравнение |x-1|-4|x+5|-1|x-3|-7=0.

   [|x-1|-4=0|x+5|-1=0|x-3|-7=0        [|x-1|=4|x+5|=1|x-3|=7          [x-1=4x-1=-4x+5=1x+5=-1x-3=7x-3=-7         [x=5x=-3x=-4x=-6x=10x=-4           [x=-6x=-4x=-3x=5 x=10

Шаг 3. Изображаем Df (в нашем случае это вся числовая ось), наносим на неё нули функции fx (в нашем случае закрашенными точками, т. к. все они войдут в ответ), после чего определяем знак функции fx внутри каждого из шести образовавшихся промежутков.

f-10=|-10-1|-4|-10+5|-1|-10-3|-7>0; f-5=|-5-1|-4|-5+5|-1|-5-3|-7=6-40-18-7<0; f-3,5=|-3,5-1|-4|-3,5+5|-1|-3,5-3|-7=4,5-41,5-16,5-7<0; f0=|0-1|-4|0+5|-1|0-3|-7=1-45-13-7>0; f7=|7-1|-4|7+5|-1|7-3|-7=6-412-14-7<0; f20=|20-1|-4|20+5|-1|20-3|-7>0.

Заметим, что в некоторых случаях для определения знака приходится выполнять преобразования (как, скажем, в третьей строке у нас), а в некоторых знак ясен мгновенно, без преобразований (как, скажем, в первой и в последней строках у нас).

Нанесём знаки на наш рисунок:

Осталось выписать ответ. В него войдут все промежутки с нужным знаком, а также все закрашенные точки в окружении "чужих" промежутков (у нас это точка -4).

Ответ: (-;-6]{-4}[-3;5][10;+)

Решение третье — алгебраическое

Умножив обе части неравенства A на положительную при всех x величину |x-1|+4|x+5|-1|x-3|+7, получим:

A    |x-1|-4|x-1|+4|x+5|-1|x+5|+1·
·|x-3|-7|x-3|+70  
  |x-1|2-42|x+5|2-12|x-3|2-720, т. к. a2-b2=a-ba+b
  x-12-42x+52-12x-32-720,      B

т. к. |m|2=m2
  x-1-4x-1+4x+5-1x+5+1x-3-7x-3+70  
  x-5x+3x+4x+6x-10x+40  !
!  x+6x+42x+3x-5x-100

Ответ: (-;-6]{-4}[-3;5][10;+).

Решение четвёртое — методом рационализации (методом замены множителей)

Напомним, что для применения этого метода правая часть неравенства должна равняться нулю, а левая представлять собой дробь (или, как частный случай, целое выражение), числитель и знаменатель которой разложены на множители специального вида. Если это так, то каждый множитель можно заменить другими, гораздо более простыми множителями, и в результате получим неравенство, равносильное исходному на его области определения.

Подробно об этом методе написано в одной статей блога. Там же приводится таблица замен множителей.

В частности, одним из специальных видов множителей является разность модулей, которая может быть заменена разностью квадратов, т. е. множитель вида |u|-|v| заменяется множителем вида u2-v2.

Переписав неравенство в виде

|x-1|-|4||x+5|-|1||x-3|-|7|0

и вспоминая, что его область определения — множество всех действительных чисел, получаем в результате замены множителей равносильное неравенство:

x-12-42x+52-12x-32-720.

Обратите внимание — это неравенство B из предыдущего третьего способа решения, только там оно получено в результате хитрого преобразования, а здесь — почти автоматически. Дальнейшее решение такое же, как в предыдущем третьем способе.

Ответ: (-;-6]{-4}[-3;5][10;+)

Очень рекомендуем вам посмотреть наши видеоуроки о методе рационализации

Почитайте пост "Метод замены множителей" — в нём сам автор этого метода рассказывает подробно о том, как он работает.

Автор

Голубев Виктор Иванович — член редколлегии журнала
Голубев Виктор Иванович — член редколлегии журнала "Квант", автор множества популярных пособий по математике.

Хотите получать уведомления о новых статьях в блоге? Подпишитесь на обновления.