Математика — это для всех! «Репетитор: математика»

Теорема Бошерницана

Теорема Бошерницана

Отображение f:EE метрического пространства с метрикой ρ·,· называют изометрией, если для любых x,yE справедливо равенство ρx,y=ρfx,fy. Мы докажем здесь следующее утверждение:

Теорема. Если f:EE отображение компактного метрического пространства в себя, такое что

ρx,yρfx,fy  1

для любых x,yE, то отображение f — изометрия.

Напомним некоторые простые утверждения о метрических компактах и введём некоторые соглашения и определения, необходимые для дальнейшего изложения.

Через |A| будем обозначать количество элементов конечного множества A.

Для xE и ε>0 множество Qx,ε={y: yE, ρx,y<ε} назовем ε-окрестностью точки x (или открытым шаром с центром в точке x и радиусом ε).

Конечное множество AE назовём ε-сетью в E (или просто ε-сетью), если для любой точки xE найдётся точка yA такая, что ρx,y<ε. Множество BE назовём ε-разреженным, если ρx,yε для любых x,yB, таких, что xy.

Для любого конечного множества A={a1,,am}E обозначим через lA сумму ijρai,aj. Величину l(A) назовём длиной множества A.

1. Пусть последовательности {an}, {bn} элементов множества E сходятся соответственно
к точкам a,bE. Тогда ρan,bn →ρa,b при n→∞.

Доказательство. Рассмотрим очевидные неравенства

ρan,bnρa,b+ρan,a+ρbn,b  2
ρan,bn+ρan,a+ρbn,bρa,b  3

Так как ana, bnb при n→∞, то для ε>0 найдется такое натуральное N, что для всех n>N будет

ρan,a<ε2 , ρbn,b<ε2  4

Из 2,3,4 следует, что |ρa,b-ρan, bn|<ε для всех n>N.

2. Для каждого ε>0 в E существует конечная ε-сеть.

Доказательство. Семейство открытых шаров {Qx,ε}, где x пробегает E, является покрытием E. Т. к. E компактно, выберем конечное семейство шаров {Qx1,ε,,Qxm,ε}, также покрывающих E. Ясно, что множество A={x1,,xm} — конечная ε-сеть.

3. Пространство E ограничено. А именно, существует такое число d>0, что ρx,y<d для любых x,yE.

Доказательство немедленно следует из 2. Действительно, положим g=maxijxi,xj, где xi, xj — элементы ε-сети A. Ясно, что ρx,yg+2ε.

4. Если B={a1,,an} — конечная ε2-сеть в E, то для любого ε-разреженного множества K будет |K||B|, т. е. |K|n.

Доказательство. Объединение шаров i=1nQai,ε2 покрывает E. Если |K|>n, то два различных элемента из K окажутся в одном из шаров Qai,ε2, что противоречит тому, что K — ε-разреженное множество.

5. Каждому ε-разреженному множеству AE поставим в соответствие число lA — его длину. Мы уже доказали, что функция, которая ставит любому ε-разреженному множеству A в соответствие число |A|, ограничена. Отметим, что функция, которая каждому ε-разреженному множеству AE ставит в соответствие его длину lA, также ограничена.

6. Пусть c=suplA, где sup берется по всем ε-разреженным множествам AE. Тогда справедлива

Лемма 1. Существует ε-разреженное множество C={a1,,ak}, такое что lC=c, C является ε-сетью в E, fC также является ε-сетью в E и для любых ai,ajC будет ρai,aj=ρfai,faj.

7. Лемма 2. Отображение f непрерывно на E. Более точно: если ρx,y<ε для любых x,yE, то ρfx, fy<5ε.

Доказательство. Рассмотрим ε-сеть C из Леммы 1. Если x не принадлежит шару Qai,ε, то x не принадлежит Qfai,ε. Это значит, что найдётся такое i, что xQai,ε и fxQfai,ε. Аналогично существует такое j, что yQaj,ε и fyQfaj,ε. Оценим ρfx,fy. Ясно, что ρfx,fy<ρfai,faj+ε+ε=ρai, aj+2ε. А так как ρx,y<ε, и xQai,ε, yQaj,ε, то ρai, aj<3ε. Следовательно, ρfx,fy<5ε.

Итак, мы доказали, что f непрерывно отображает E в E. Из Леммы 1 следует, что для каждого ε>0 существует ε-сеть в E такая, что f сохраняет расстояния между элементами этой сети. Значит, для любых точек x,yE можно найти последовательности xnx, yny такие, что ρfxn,fyn=ρxn,yn. Но ρxn,ynρx,y при n. Из непрерывности отображения f следует, что fxnfx, fynfy при n. Следовательно, ρfxn,fynρfx,fy при n. А т. к. для любого n выполняется равенство ρxn,yn=ρfxn,fyn, то ρx,y=ρfx,fy.

Замечание

Это доказательство теоремы Бошерницана основано на беседах с моим студенческим товарищем, ныне американским математиком Леонидом Люксембургом, в один из его приездов в Москву и является моим изложением предложенной им идеи.

Автор

Слободник Семён Григорьевич, разработчик контента для приложения «Репетитор: математика», кандидат физико-математических наук, учитель математики школы 179 г. Москвы
Слободник Семён Григорьевич, разработчик контента для приложения «Репетитор: математика», кандидат физико-математических наук, учитель математики школы 179 г. Москвы

Хотите получать уведомления о новых статьях в блоге? Подпишитесь на обновления.