Математика — это для всех! «Репетитор: математика»

Геометрический метод решения текстовых задач

Геометрический метод решения текстовых задач

Убедимся в его эффективности на примере решения непростых (для алгебраического метода) задач дополнительного вступительного испытания (ДВИ) по математике в МГУ им. М. В. Ломоносова за 2017 и 2016 годы.

Задача №6 (из 8 задач) ДВИ, 2017

Василий с друзьями решили устроить пикник. Для этого им от пункта A нужно добраться вниз по реке до пункта B, причём в их распоряжении есть два катера. Считая себя самым ответственным, Василий вызвался самостоятельно доехать до пункта B на более быстроходном катере и начать готовить место для пикника. Оба катера вышли одновременно из пункта A. Однако, промчавшись восемь километров, Василий заметил на берегу машущего ему рукой Григория, который просил по старой дружбе довезти его до пункта C. И хоть пункт C Василий уже проехал, он согласился. По пути в пункт C Василий с Григорием встретили идущий навстречу второй катер с друзьями Василия, откуда те крикнули, что им до пункта B осталась треть пути и чтобы Василий нигде не задерживался. Доставив Григория в пункт C, Василий немедленно помчался догонять друзей. Найдите расстояние между пунктами B и C, если известно, что оба катера пришли в пункт B одновременно, скорости катеров постоянны, а Василий, действительно, нигде не задерживался.

Как обычно в геометрическом методе, рассмотрим систему координат с осями время — расстояние. На горизонтальной оси t будем откладывать время, прошедшее от момента одновременного выхода катеров из пункта A (в часах), а по вертикальной оси S— расстояние вниз по течению от пункта A (в километрах).

Таким образом, точке (t, S) координатной плоскости соответствует положение объекта на расстоянии S км вниз по течению от пункта A через t ч после выхода катеров из пункта A.

Пусть точка X — место встречи катеров, и пусть расстояние AB=S км.

Рис. 1
Рис. 1

По условию (рис. 1):

AD=8 км, XB=13S, AX=23S.

Искомым является расстояние CB. Мы найдём его из очевидных подобий, которые получим, изобразив движение катеров в плоскости t,S.

Движению более медленного катера в плоскости t,S соответствует отрезок AB', движению более быстроходного катера соответствует ломаная AD'C'B'. Пусть X' — точка их пересечения.

AD'C'B', поскольку угловые коэффициенты этих прямых — это скорости по течению одного и того же быстроходного катера. Имеем:

AD'X'~B'C'X',
AX'K ~BX'L,
AD'D ~B'C'M.

Значит:

B'C'AD'=B'X'AX'=X'LX'K=13S23S=12    {B'C'=m>0AD'=2m  

Так как длины паралельных отрезков B'C' и AD' отличаются в 2 раза то и длины их проекций отличаются в 2 раза:

B'C'AD'=C'MAD=BCAD=12, BC8=12, BC=4.

Ответ:  4 км.

Задача №6 (из 8 задач) ДВИ, 2016

Ровно в 9:00 из пункта A в пункт B выехал автомобиль. Проехав две третьих пути, наблюдательный водитель автомобиля заметил, что мимо него в сторону пункта A проехал некий велосипедист. В тот самый момент, когда автомобиль прибыл в пункт B, из пункта B в пункт A выехал автобус. Когда до пункта A оставалось две пятых пути, не менее наблюдательный водитель автобуса заметил, что он поравнялся с тем самым велосипедистом. Во сколько приедет велосипедист в пункт A, если известно, что автобус прибыл в пункт A ровно в 11:00? Скорости велосипедиста, автомобиля и автобуса считать постоянными.

Так же, как и при решении предыдущей задачи, рассмотрим систему координат с осями время — расстояние. На горизонтальной оси t будем откладывать время в соответствии с тем, как это описано в условии (в часах), а по вертикальной оси S— расстояние от пункта A (в километрах).

Пусть точка C — место встречи автомобиля и велосипеда, точка D — место встречи автобуса и велосипеда. Пусть расстояние AB=S км.

Рис. 2
Рис. 2

Из условия:

AC=23S, DA=25S,
DC=AC-AD=415S,
DB=AB-DA=35S.

Движению автомобиля в плоскости t,S соответствует отрезок AB', автобуса — отрезок B'M, велосипеда — отрезок C'K(рис. 2).

Длина AM составляет 11-9=2 (часа). Искомой является длина AK. Найдём ее из очевидных подобий:

AB'M ~NB'D',
NC'D' ~AC'K.

Имеем:

ND'AM=DBAB, ND'2=35SS, ND'=65 (часа)
ND'AK=DCAC, 65AK=415S23S, AK=3 (часа)

Велосипедист приедет в пункт A в 9+3=12 (часов).

Ответ: в 12 часов.

Итак, продемонстрирована эффективность геометрического метода решения текстовых задач на движение на примере реальных задач ДВИ в МГУ им. М. В. Ломоносова за 2017 и 2016 годы.

Автор

Тарасов Валентин Алексеевич — кандидат технических наук, автор пособий по математике для школьников и учителей, лектор InternetUrok. ru (алгебра и геометрия, 7–11 классы).
Тарасов Валентин Алексеевич — кандидат технических наук, автор пособий по математике для школьников и учителей, лектор InternetUrok. ru (алгебра и геометрия, 7–11 классы).

Хотите получать уведомления о новых статьях в блоге? Подпишитесь на обновления.