Математика — это для всех! «Репетитор: математика»

Стенография в тригонометрии - огромная экономия времени

Стенография в тригонометрии

Любой преподаватель, работая у доски, заинтересован в том, чтобы излагаемая информация была максимально долго в поле зрения слушателей, если для ее восприятия и усвоения приходится регулярно возвращаться к тем или иным уже сформулированным фрагментам.

Естественно, что при этом преследуется цель максимально эффективно использовать и отведённое на данную работу время. С накоплением опыта преподавания, очевидно, каждый учитель вырабатывает свой стиль и свою манеру конспективного изложения материала.

Нельзя отрицать и того факта, что и ученик заинтересован в максимально сжатые сроки продвинуться к ответу в поставленной перед ним задаче на предварительной стадии её решения и успеть законспектировать информацию, излагаемую на занятиях и в литературе.

Могу констатировать, что используя элементы стенографии (проще говоря, очевидные сокращения) удаётся за традиционные два часа работы в аудитории рассказать раза в полтора больше красивых и интересных задач и фактов.

Вот перед Вами традиционный набор тригонометрических формул, активно используемых при решении задач (все сокращения очевидны! ).

s2+c2=1  1
1+t2=1c2, 1+ct2=1s2  2.1
c2=11+t2, s2=t21+t2  2.2
s±=sc±cs, c±=ccss  3
t±=t±t1t·t, ct±=ct·ct1ct±ct  4
s2=2sc, c2=c2-s2=2c2-1=1-2s2  5
t2=2t1-t2, ct2=ct2-12ct  6
s3=3sc2-s3=3s-4s3  7
c3=c3-3s2c=4c3-3c  8
t3=3t-t31-3t2=3ct2-1ct3-3ct  9
ct3=ct3-3ct3ct2-1=1-3t23t-t3  10
s2=1-c22, c2=1+c22, t2=1-c21+c2, ct2=1+c21-c2  11
s3=143s-s3, c3=143c+c3  12
|s12|=1-c2, |c12|=1+c2, |t12|=1-c1+c, |ct12|=1+c1-c  13
t12=1-cs=s1+c, ct12=s1-c=1+cs  14
s±s=2s±2c2  15
c+c=2c+2c-2  16
c-c=-2s+2s-2  17
t±t=s±c·c  18
s·s=12c--c+  19
c·c=12c-+c+  20
s·c=12s-+s+  21
s=2y1+y2, c=1-y21+y2, t=2y1-y2, ct=1-y22y, где y=t12  22
s·c=12s+c2-1 и s·c=121-s-c2, т. е. s·c=±12s±c2-1  23
As±Bc=A2+B2sx+φ, где φ=arcsinBA2+B2  24
s±c=2sx±π4  25

Ясно, что каждый преподаватель выбирает свою последовательность результатов, фактов, формул, задач и т. д. — в зависимости от аудитории, пытаясь большинство утверждений обосновать.

Согласитесь, что слушатель при всём желании с трудом просто запоминает формулы. Он либо делает себе шпаргалку, либо выделяет так называемые опорные формулы, которые позволяют остальные легко из них выводить.

Очевидно, например, что формулы 7-10 не относятся к опорным, так как они легко выводятся как частный случай из 3.

Для демонстрации и сравнительного анализа приведём вывод первой формулы 9 в двух вариантах — с полными выкладками и в конспективном виде.

Читатель должен быть к нам снисходительным и не упрекать, что мы выбрали далеко не оптимальный путь.

Запись 1:

tg 3α=sin3αcos3α=sin2α+αcos2α+α=sin2αcosα+cos2αsinαcos2αcosα-sin2αsinα=2sinαcosαcosα+cos2α-sin2αsinαcos2α-sin2αcosα-2sinαcosαsinα=
=2sinαcos2α+cos2αsinα-sin3αcos3α-sin2αcosα-2sin2αcosα=3sinαcos2α-sin3αcos3α-3sin2αcosα=3sinαcos2α-sin3αcos3αcos3α-3sin2αcosαcos3α=3sinαcosα-sinαcosα31-3sinαcosα2=
=3tg α-tg3α1-3tg2α.

Запись 2 (конспект записи 1):

t3=s3c3=s2+1c2+1=s2c-c2sc2c-s2s=2scc+c2-s2sc2-s2c-2scs=2sc2+c2s-s3c3-s2c-2s2c=3sc2-s3c3-3s2c=
=3sc2-s3c3c3-3s2cc3=3sc-sc31-3sc2=3t-t31-3t2.

Вряд ли запись 1, в отличие от записи 2, разместится на доске стандартного формата! По числу всех символов запись 2 более чем в два раза короче записи 1 (можете проверить).

Выигранное время позволяет информировать слушателей о красивых дополнительных фактах.

Например, редко публикуемые на страницах учебников следующие факты:

sin3α=4sinπ3-αsinαsinπ3+α  26
cos3α=4cosπ3-αcosαcosπ3+α  27
tg 3α=tgπ3-αtg α tgπ3+α  28
ctg 3α=ctgπ3-αctg α ctgπ3+α  29
sin3α=4sin2π3-αsinαsin2π3+α  30
cos3α=4cos2π3-αcosαcos2π3+α  31
tg 3α=tg2π3-αtg α tg2π3+α  32
ctg 3α=ctg2π3-αctg α ctg2π3+α  33

Или, например, и такие:

sin2α-sin2β=sinα+βsinα-β  34

s2α-s2β=s+s-
cos2α-cos2β=-sinα+βsinα-β  35

c2α-c2β=-s+s-
cos2α-sin2β=cosα+βcosα-β  36

c2α-s2β=c+c-

Посмотрите вариант конспективного доказательства формулы 34:

s+s-=sc+cssc-cs=s2αc2β-c2αs2β=s2α1-s2β-1-s2αs2β=
=s2α-s2αs2β-s2β+s2αs2β=s2α-s2β    s2α-s2β=s+s-, ч. т. д.

Перейдём теперь к демонстрации решения задач, каждая из которых относится к категории задач повышенной сложности.

Задачи и конспекты их решения

Решите уравнение tg2x+ctg2x+3tg x+3ctg x+4=0.

Решение

tg2x+ctg2x+3tg x+3ctg x+4=0    t+ct2-2+3t+ct+4=0  
  t+ct2+3t+ct+2=0    t+1t=-1 или t+1t=-2  
  t2+t+1=0 D<0 или t2+2t+1=0    t=-1  
  x=π4+πn, n.

Ответ:  x=π4+πn, n.

Решите уравнение tg2x-3tg x+2sinxcos3x=3cos2x-1cos4x.

Решение

tg2x-3tg x+2sinxcos3x=3cos2x-1cos4x    s2c2-3sc3+2sc=3c2-1  
  s2c2-3sc3+2scs2+c2=3c2s2+c2-s2+c22  
  s4+2s3c-sc3-2c4=0    t4+2t3-t-2=0  
  t4-t+2t3-1=0    t3-1=0 или t+2=0    t=-2 или t=1.

Ответ:  x=-arctg 2+πn, x=π4+πn, n.

Комментарий: на первом шаге переписываем исходное уравнение на языке s и c. Далее, обнаружив, что все одночлены имеют чётную степень, сводим на основании тождества s2+c2=1 полученное уравнение к однородному четвёртой степени. На последнем шаге, деля на c4, получаем алгебраическое уравнение относительно t и решаем его.

Решите уравнение 2 sinxcos2x+cos4x=2sinx+cos2x+cos2x.

Решение

2 sinxcos2x+cos4x=2sinx+cos2x+cos2x  
  2s1-s2+1-s22=2s+1-2s2+1-s2    s4-2s3+s2-1=0  
  s2s2-2s+1-1=0    s2-s2=1    s2-s-1=0 или
s2-s+1=0    s=1-52[-1,1] или s=1+52[-1,1]    s=1-52.

Ответ: x=-1narcsin1-52+πn, n.

Комментарий: одночлены в исходном уравнении содержат sinx в первой степени, а cosx в силу формулы c2=1-2s2 в чётной степени. Поэтому в силу тождества s2+c2=1 уравнение легко переписать в виде P4s=0, где P4s — многочлен четвёртой степени относительно sinx.

Решите уравнение sin3x-2sin18xsinx=32-cos3x+2cosx.

Решение

sin3x-2sin18xsinx=32-cos3x+2cosx    s3+c3-2s18s+c=32

Так как {s3+c32|s18s+c|s218+12  , то

sin3x-2sin18xsinx=32-cos3x+2cosx   {s3+c3=2s18s+c=-2  
   {s3+c3=2s18=1s+c=-2 или  {s3+c3=2s18=-1s-c=2.

T=2π. Пусть x[-π;π]. Тогда

1) s+c=-2    sx+π4=-1    x=-34π    s3+c32,
2) s-c=2    sx-π4=1    x=34π    {s3+c3=2s18=-1.

Ответ: x=34π+2πn, n.

Комментарий: в основе решения лежит тот факт, что EAs+Bc=[-A2+B2;A2+B2]. Также существенно вовремя среагировать на возможность решения только третьих уравнений полученных систем на отрезке длины 2π (аккуратнее было бы говорить о полуинтервалах длины 2π), т. к. именно эти уравнения из систем имеют наименьшее число корней на одном периоде.

Решите уравнение sin6xcos2x-sin2x-cos4xcos2x+sin2x=2 *.

Решение

*    s6-c4c2=s6+c4s2=2.

* имеет вид As2+Bc2=c, где A=-s6+c4, B=s6-c4 и т. к. EAs2+Bc2=[-A2+B2;A2+B2], то 

s6+c42+s6-c422    s26+2s6c4+c24+s26-2s6c4+c242  
  2s26+2c242    s26+s242     {s26=1c24=1      {c26=0s24=0  
   {c24c22-3=02s2c2=0    c2=0    x=±π4+πn, n.

* истинно только при x=π4+πn.

Ответ: x=π4+πn, n.

Комментарий: в исходной постановке задачи нарочно подчёркнута скобками роль cos2x и sin2x, что и предопределило идею решения этого уравнения. Интересно, сможет ли кто-нибудь из читателей найти другое решение данной задачи.

На этом мы завершаем разговор с читателем и заметим, что автор ни в коей мере не навязывает введённые обозначения и сокращения, но надеется, что какое-то рациональное зерно можно в представленной информации найти. До новых встреч.

Автор

Голубев Виктор Иванович — член редколлегии журнала
Голубев Виктор Иванович — член редколлегии журнала "Квант", автор множества популярных пособий по математике.

Хотите получать уведомления о новых статьях в блоге? Подпишитесь на обновления.