Обобщённые теоремы подобия в равнобедренном треугольнике

Обобщённые теоремы подобия в равнобедренном треугольнике

Эти теоремы описывают геометрические свойства совокупности трёх треугольников, связанных с исходным равнобедренным треугольником.

Обобщённая теорема подобия №1

Из произвольной внутренней точки D основания AB равнобедренного треугольника ABC опустим перпендикуляры на боковые стороны (или их продолжения) и проведём высоту к боковой стороне: DKAC, DMBC, BNAC (рис. 1).

Рис. 1
Рис. 1

Здесь приняты следующие обозначения:

DK=n, DM=m, BN=h;
AD=c1, BD=c2, A=α;
AB=c, AC=BC=l.

Прямоугольные треугольники ADK, BDM и ABN подобны, так как имеют одинаковый острый угол: A=B=α. Справедлива следующая теорема сложения (обобщённая теорема подобия №1).

Пусть x1, x2, x — сходственные линейные элементы в треугольниках ADK, BDM и ABN. Тогда

x1+x2=x  1

Действительно,

{x1x=c1cx2x=c2cc1+c2=c    x1+x2=c1cx+c2cx=c1+c2cx=x.

Здесь c1c=x1x=k1, c2c=x2x=k2 — коэффициенты подобия.

Теорему (1) можно переписать по-другому, используя коэффициенты подобия (двух меньших треугольников по отношению к наибольшему), а именно, в виде:

k1+k2=1  2

или используя площади S1=SADK, S2=SBDM, S=SABN,

в виде:

S1+S2=S  3

Обобщённая теорема подобия 1, или теорема сложения здесь центральная. Приведём поэтому ещё одно её доказательство.

В тройке подобных треугольников

ADK ~BDM ~ABN  4

имеем тройку сходственных линейных элементов, связанных операцией сложения:

c1+c2=c  5

Значит, такой же операцией сложения связаны любые сходственные линейные элементы этих треугольников:

x1+x2=x.

Действительно, из 5 имеем:

c1c+c2c=1, k1+k2=1, x1x+x2x=1, x1+x2=x.

Многочисленные частные случаи теоремы (1) встречаются в виде задач.

Доказать, что (рис. 1):

n+m=h  6

Выберем в качестве x1 длину отрезка n=DK, т. е. гипотенузу в ADK. Сходственными ей являются гипотенузы x2=DK=m и x=BN=h в DBM и ABN. Теорема 1 в этом частном случае примет вид:

n+m=h.

Свойство 6 доказано.

Замечание

Свойство 6 равнобедренного треугольника ABC обычно доказывают через площади:

SACD+SBCD=SABC, 12ln+12lm=12lh,

значит, n+m=h.

Рассмотрим ещё одну задачу.

Пусть r1, r2, r — радиусы окружностей, вписанных в ADK, BDM, ABM соответственно. Доказать, что:

r1+r2=r 7

Равенство 7 есть частный случай равенства теоремы 1 для тройки сходственных величин x1=r1, x2=r2, x=r.

Обобщённая теорема подобия №2

Из произвольной внутренней точки D основания AB равнобедренного ABC и из его вершины B проведём к прямым CA и CB наклонные DK, DM, BN под одним и тем же углом φπ2, как показано на рис. 2.

Рис. 2
Рис. 2

Обозначения:

DK=l1, DM=l2, BN=l;
AKD=BMD=ANB=φ;
AD=c1, BD=c2, AB=c.

Как и ранее, получим тройку подобных треугольников (по двум углам — φ и α=A):

ADK ~BDM ~ABN  8

Заметим в них ту же тройку сходственных линейных элементов:

c1=AD, c2=DB, c=AB,

связанных операцией сложения:

c1+c2=c  9

Прийдём к выводу, что такой же операцией сложения связаны элементы любой другой тройки y1,y2,y сходственных линейных элементов в этих треугольниках:

y1+y2=y  10

Получим обобщённую теорему подобия №2 для трёх треугольников из 8, т. е. теорему сложения.

В частности, если y1=r1 — радиус вписанной в ADK окружности, а y2=r2и y=r — радиусы вписанных в BDM, ABN окружностей, то

r1+r2=r  11

Это следствие равенства 10.

Если ρ1, ρ2, ρ — радиусы вневписанных окружностей, лежащих против вершин K, M, N треугольников 8, то

ρ1+ρ2=ρ.

Получили другое следствие (другой частный случай) равенства 10 обобщённой теоремы подобия №2.

Третий частный случай: l1+l2=l (связь наклонных).

Выводы

Рассмотрены обобщенные теоремы подобия 1, 10, связанные с внутренней точкой D основания AB равнобедренного ABC; получены свойства 3, 6, 7, 9, 10 как частные случаи теорем 1, 10.

Аналогично можно получить обобщённые теоремы подобия, связанные с внешней точкой основания AB, лежащей на его продолжении.

Автор

Тарасов Валентин Алексеевич — кандидат технических наук, автор пособий по математике для школьников и учителей, лектор InternetUrok. ru (алгебра и геометрия, 7–11 классы).
Тарасов Валентин Алексеевич — кандидат технических наук, автор пособий по математике для школьников и учителей, лектор InternetUrok. ru (алгебра и геометрия, 7–11 классы).

Хотите получать уведомления о новых статьях в блоге? Подпишитесь на обновления.