Математика — это для всех! «Репетитор: математика»

Прогулка по биссектрисе треугольника

Прогулка по биссектрисе треугольника

Вступление

Прогуляемся по биссектрисе AA1 треугольника ABC, остановимся в ее замечательных точках, а именно,

  • центре I вписанной окружности,
  • точке A1 — основании биссектрисы;

поразмышляем о свойствах этих точек, о связанных с ними задачах;  остановимся на тех задачах, которые выявляют свойства не только конкретного треугольника, но и множества (семейства) треугольников.

Такие задачи интересны сами по себе, дают ключи к решению многих сложных задач, популярны у составителей экзаменационных задач, в том числе задач ЕГЭ.

Обозначения примем стандартные, например, длины сторон обозначаем через a, b, c, величины углов через α, β, γ и т. д.

Точка I

Задача №1. В ABC угол BAC=α. Доказать: BIC=π2+α2.

Рис. 1
Рис. 1

Из BIC найдем (рис. 1):

BIC=π-β2+γ2=π-π-α2=π2+α2.

Комментарий. Каждый ABC из множества α треугольников с углом BAC=α обладает следующим свойством: из центра I его вписанной окружности противоположная углу BAC сторона BC видна под тупым углом BIC=π2+α2.

Задача №2. В ABC известны величина угла BAC=α и длина стороны BC=a. Найти радиус RBIC окружности, описанной около BIC.

Так как угол BIC=π2+α2 (задача 1), то по теореме синусов для BIC имеем:

RBIC=BC2sinπ2+α2=a2cosα2.

Ответ: RBIC=a2cosα2.

Комментарий. Радиус RBIC есть общий элемент для всех треугольников a;α с углом BAC=α и противоположной стороной BC=a.

Найдите иные общие элементы для треугольников из множества a;α.

Задача №3. В ABC с длиной полупериметра p и длиной стороны BC=a найти длину касательной, проведенной из вершины A к вписанной в ABC окружности.

Примем обозначения для касательных (рис. 1).

AK=AL=x,
BM=BK=y,
CL=CM=z.

Величину x найдем из системы:

+{a=y+zb=z+xс=x+y    2p=2x+y+z,  p=x+a.

Ответ: x=p-a (или x=b+c-a2).

Комментарии. Каждый конкретный ABC из множества p;a треугольников с заданными длинами p и a обладает следующим свойством: длина касательной к вписанной окружности, проведенной из вершины A равна разности длин полупериметра и противоположной (вершине A) стороны BC: x=p-a. Аналогично, y=p-b, z=p-c. В частном случае, когда C=90°, z=r (где r — радиус вписанной окружности). Тогда r=p-c.

Итак, остановка в точке I позволила нам поразмышлять о связанных с нею свойствами множества треугольников. Следующая остановка в точке A1.

Точка A1

Основание A1 биссектрисы AA1 знаменито тем, что рассекает сторону BC на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Это позволяет найти (через длины сторон a, b, c):

  • отрезки BA1=m, CA1=n, на которые биссектриса AA1 рассекает сторону BC;
  • отношение AI:IA1, в котором точка I рассекает биссектрису AA1;
  • длины AI и IA1 отрезков биссектрисы AA1.

Об этом — следующие задачи.

Задача №4. В ABC со сторонами BC=a, CA=b, AB=c проведена биссектриса AA1. Найти:

а) длины отрезков BA1=m и CA1=n;
б) длину биссектрисы AA1=la.

Рис. 2
Рис. 2

а) Длины m и n найдем из системы:

{m+n=amn=cb    {m=acb+cn=bcb+c.

б) Длину биссектрисы la найдем из формулы (докажите её):

la2=bc-mn.

Задача №5. Доказать: AIIA1=b+ca.

По свойству биссектрисы AA1 имеем:

BA1=m=kc, CA1=n=kb, kb+c=a, k>0.

По свойству биссектрисы BI в AA1B имеем:

AI=nc, A1I=nkc, n>0.

Значит:

AIIA1=ncnkc=1k=b+ca.

Комментарий. Последнее свойство позволяет найти отрезки биссектрисы AA1=la из системы: AI+A1I=la, AIA1I=b+ca.

Заключение

Мы рассмотрели популярные, важные для экзаменов задачи, связанные с точками I, A1 биссектрисы треугольника ABC. Пусть BB1, CC1— другие его биссектрисы. Самостоятельно докажите, что:

SABCSA1B1C1=a+bb+cc+a2abc.

Указание. Используйте задачу 4 и свойство площадей треугольников с общим углом.

Далее (в следующей заметке) мы продолжим прогулку по прямой AA1 с остановками уже за пределами треугольника.

Автор

Тарасов Валентин Алексеевич — кандидат технических наук, автор пособий по математике для школьников и учителей, лектор InternetUrok. ru (алгебра и геометрия, 7–11 классы).
Тарасов Валентин Алексеевич — кандидат технических наук, автор пособий по математике для школьников и учителей, лектор InternetUrok. ru (алгебра и геометрия, 7–11 классы).

Хотите получать уведомления о новых статьях в блоге? Подпишитесь на обновления.