Математика — это для всех! «Репетитор: математика»

Метод замены множителей

Метод замены множителей

Введение

Метод замены множителей является одним из самых эффективных способов решения целого класса неравенств повышенной сложности.

Для привлечения вашего внимания, дорогой читатель, посмотрите мгновенное преобразование в дробно-рациональное неравенство следующее неравенство:

x2-11x+28-|x-1||x+5|-2|x+2|-|7-x|<0  ОДЗ  (x2-11x+28)-x-12x+52-22x+22-7-x2<0  
  x2-11x+28-x2+2x-1x+5-2x+5+2x+2-7-xx+2+7-x<0    27-9xx+3x+72x-5·9<0  
   93-xx+3x+72x-5·9<0    x+7x+3x-3x-52>0 и т. д.

(можно и так (!): x+7x+3x-52x-3>0)

Ответ: -;-7-3;2,53;.

Наша цель состоит в том, чтобы в доступной форме познакомить учителей, старшеклассников и всех желающих с указанным методом.

Основная идея метода

Наиболее популярными и легко усваемыми школьниками неравенствами являются дробно-рациональные неравенства, решение которых методом интервалов подробно рассматривается в школьных учебниках и многочисленных пособиях для поступающих.

Поэтому можно понять желание свести неравенство повышенной сложности к решению дробно-рационального неравенства. Оказывается, широкий класс неравенств подобную попытку допускает, так как любое неравенство приводимо к виду:

U1·U2·...·UkV1·V2·...·Ve0
(1)

где символ «» обозначает один из четырёх возможных знаков неравенства: <, , , >.

Ясно, что при решении неравенства (1) нас интересует только знак (!) любого множителя в числителе и знаменателе, а не абсолютная его величина. Поэтому, если по каким-то причинам нам неудобно работать с данным множителем, мы можем его заменить на другой со знакосовпадающим с ним в области определения неравенства (и имеющим в области те же корни).

Монотонность — ключ к замене множителя

И мы сразу предупреждаем читателя, что речь идет о строго (!) монотонных функциях, т. е. о функции либо строго убывающей, либо строго возрастающей.

Поэтому аккуратно зафиксируйте в сознании два следующих утверждения:

Утверждение 1

Функция строго убывает тогда и только тогда, когда для любых двух значений t1 и t2 из области определения функции разность t1-t2 знакосовпадает с разностью значений функции в точках t1 и t2, т. е.

 ft убывает  t1-t2ft2-ft1

(символ  означает знакосовпадение)

Утверждение 2

ft возрастает t1-t2ft1-ft2

Замечание: в школе большинство изучаемых функций являются непрерывными и которые на многих промежутках области определения являются строго монотонными. Например, функция y=sinx на промежутке -π2,π2 является строго возрастающей, поэтому множитель sinπ9-sinπ7 можно заменить на разность π9-π7.

Рассмотрим теперь конкретные элементарные функции и определяемые ими замены.

Функция y=tn и определяемые ею замены

Функция y=tn является строго возрастающей при n>0 на множестве неотрицательных чисел (а при нечетном натуральном n — на всей числовой оси), поэтому в силу утверждения 2 справедливы замены:

t1n-t2nt1-t2 при n>0, t10, t20
(1.1)
t12k-1-t22k-1t1-t2 при натуральном k
(1.2)

Большинство задач конкурсных экзаменов содержат корни только второй и третьей степени, при этом подавляющая часть содержит корни второй степени.

Функции y=t2 и y=t, рассматриваемые на множестве неотрицательных чисел, являются взаимно обратными и строго возрастающими, то есть:

t1t2    t12t22    t1t2.

Поэтому

t12-t22t1-t2
(1.3)
t1-t2t1-t2, где t1, t20
(1.4)

В частности

tt при t0
(1.5)
f+gf+g
(1.6)

Замена суммы f+g при возможном одновеременном равенстве нулю подкоренных выражений на сумму f+g позволяет учитывать эту возможность.

Решить неравенство |x-3|-x2-2x+52|x+3|-x2-3x|2-x|-4|2+x|-|x-6|>0.

Исходное неравенство имеет вид U1·U2V1·V2>0.

Все (!) множители U1, U2, V1, V2 имеют вид t1-t2, где t1-t20, поэтому эти множители заменяем на знакосовпадающие с ними множители вида t12-t22:

|x-3|-x2-2x+52|x+3|-x2-3x|2-x|-4|2+x|-|x-6|>0    |x-3|2-x2-2x+522|x+3|2-x2-3x2|2-x|2-42|2+x|2-|x-6|2>0 

Так как |m|2=m2, a2-b2=a-ba+b и x2-3x2=x2-3x, то с учетом неотрицательности подкоренного выражения x2-3x получаем:

|x-3|-x2-2x+52|x+3|-x2-3x|2-x|-4|2+x|-|x-6|>0    {x-32-x2-2x+522x+32-x2-3x2-x2-422+x2-x-62>0x2-3x0  
  {x-3-x2-2x+5x-3+x2-2x+5x2+6x+9-x2+3x2-x-42-x+42+x-x-62+x+x-6>0x2-3x0  
  {-x2+3x-8x2-x+29x+9-x-2-x+6·8·2x-4>0xx-30    {x2-3x+8x2-x+2·9·x+1x+2x-6·16·x-2<0xx-30  
  x+1x+2x-6x-2<0,

так как трехчлены x2-3x+8 и x2-x+2 больше нуля для всех x.

Известно, что ab<0a·b<0, отсюда

|x-3|-x2-2x+52|x+3|-x2-3x|2-x|-4|2+x|-|x-6|>0    {x+1x+2x-6x-2<0xx-30.

Поскольку далее мы будем решать систему неравенств методом интервалов на числовой оси переменной X, то очень советуем переписать неравенства, переставив линейные множители в порядке возрастания (!) их нулей, что мы и сделаем:

|x-3|-x2-2x+52|x+3|-x2-3x|2-x|-4|2+x|-|x-6|>0    {x+2x+1x-2x-6<0xx-30.

Далее быстро идем к ответу:

x+2x+1x-2x-6<0
xx-30

Ответ: -2;-1[3;6).

Показательная и логарифмическая функции и вызываемые ими замены

Функция y=at, как известно, строго убывает при 0<a<1 и строго возрастает при a>1. Поэтому, например, для a=10 имеем:

10t1-10t2t1-t2.

Для произвольного основания, пользуясь основным логарифмическим тождеством, получаем, что

at1-at2=(10 lg a)t1-(10 lg a)t2=10 t1 lg a-10 t2 lg a.

Откуда

at1-at2t1-t2 lg a.
(1)

Функция y=lg x строго возрастающая, поэтому

x1-x2ОДЗlg x1-lg x2.

Если x1=a и x2=1, то получаем, что

a-1lg a-lg 1

то есть

lg aa-1.
(2)

Откуда соотношение (1) принимает вид

at1-at2t1-t2a-1.
(2.1)

Таким образом, мы установили, что разность степеней с одним и тем же основанием всегда по знаку совпадает с произведением разности показателей этих степеней на разность основания и единицы.

Для логарифмической функции y=logat аналогично устанавливаем, что

logat1-logat2=lg t1lg a-lg t2lg a=1lg alg t1-lg t2,

отсюда следует, что

logat1-logat2=lg t1-lg t2lg a=t1-t2a-1,

то есть

Разность логарифмов по одному и тому же основанию всегда по знаку совпадает с отношением разности подлогарифмических выражений к разности основания и единицы:

logat1-logat2t1-t2a-1=== 3

Замечание: утверждения (2.1) и (3) равносильны, поскольку показательная и логарифмическая функции взаимно обратны.

Утверждения (2.1) и (3) позволяют исключительно эффективно решать очень многие неравенства, например:

  1. af-ag{f-ga-1>0a>0,
  2. {af>bb>0f-logaba-1>0,
  3. logaf>logag{f-ga-1f>0g>0a>1,
  4. logaf>b{f-aba-1>0f>0a>0,
  5. logaf+logag{f·g-1a-1>0f>0g>0a>0,
  6. af1-af2ag1-ag2f1-f2g1-g2>0 и т. д.

Базовая информация по методу замены множителей

1) Стандартный вид неравенства, когда применяется метод множителей:

U1·U2·...·UkV1·V2·...·Ve0, где V{<,,,>}.

2) Основная идея метода замены множителей состоит в замене любого множителя числителя и знаменателя на знакосовпадающие с ним и имеющие одни и те же корни.

Замечание: преобразование неравенства таким образом всегда равносильно исходному в области существования последнего.

3) Две основные замены:

ft1-ft2t1-t2,

где ft — строго возрастающая функция;

ft1-ft2t2-t1,

где ft — строго убывающая функция.

4) Наиболее часто встречающиеся замены (без учета области допустимых значений):

  1. |t|t2,
  2. |t1|-|t2|t12-t22,
  3. at2+bt+ca при D=b2-4ac<0,
  4. t1-t2t1-t2,
  5. |t1|-t2t12-t2,
  6. |t|-at2+bt+ct2-at2+bt+c2 при D=b2-4ac0,
  7. at1-at2t1-t2a-1,
  8. at-1ta-1,
  9. f-gf2-g2 при f0 и g0,
  10. logaff-1a-1,
  11. logaf-gf-aga-1,
  12. logaf-logagf-ga-1.

Совет читателю: не ограничивайтесь знакомством с информацией, а примите все меры для того, чтобы овладеть информацией. Напомним, что

Владение информацией означает способность ее излагать с любой степенью подробности любому делающему без неоправданных пауз!

Желаю успехов, автор.

Видео о методе рационализации на нашем канале YouTube

Автор

Голубев Виктор Иванович — член редколлегии журнала
Голубев Виктор Иванович — член редколлегии журнала "Квант", автор множества популярных пособий по математике.

Хотите получать уведомления о новых статьях в блоге? Подпишитесь на обновления.