Математика — это для всех! «Репетитор: математика»

Общие элементы семейства треугольников

Общие элементы семейства a;α треугольников с длиной стороны a и величиной противолежащего угла α

Вступление

Теорема синусов (в стандартных обозначениях):

asinα=bsinβ=csinγ=2R; R=a2sinα

вызывает и

  • восхищение (требует минимум информации для вычисления радиуса R описанной около ABC окружности)
  • недоумение, озабоченность (величины a, α не задают треугольник однозначно; треугольника вроде бы нет, а его радиус R уже умеем вычислять?).

Подобные недоумения разрешаются просто, если рассматривать не конкретный треугольник ABC со стороной BC=a и углом A=α, а все множество (семейство) треугольников с величинами a и α.

Обозначим это множество символом a;α. Все его треугольники AiBC, как видим, имеют общий элемент — радиус R описанной окружности.

Далее мы найдем иные их общие элементы. Нахождение последних представляет самостоятельный интерес и популярно у составителей экзаменационных задач, в том числе задач ЕГЭ. Поэтому возможно заранее к ним подготовиться.

Итак, далее — о множестве треугольников a;α и их общих элементах. Начнем с описания самого множества a;α.

Описание множества a;α треугольников

Понять, описать множество треугольников a;α поможет следующая популярная задача.

Найти геометрическое место точек Ai (ГМТ), из которых заданный отрезок BC=a виден под заданным углом α (рис. 1).

Рис. 1
Рис. 1

Ответ: объединение дуг BmC, BnC радиуса R=a2sinα без точек B и C.

Комментарий:  дуги симметричны относительно прямой BC. Постройте их.

Итак, мы знаем, что из себя представляет семейство треугольников a;α; точнее — знаем возможное месторасположение третьей вершины A треугольника ABC. Далее — о конкретных общих элементах всех треугольников из семейства a;α.

Радиусы окружностей BIC и BHC

В треугольнике ABC BC=a, BAC=α, I — центр вписанной окружности, H — ортоцентр (точка пересечения высот). Найти радиусы R1=RBIC и R2=RBHC окружностей, описанных около треугольников BIC и BHC (рис. 2 и 3).

Рис. 2
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 3

1) Найдем угол BIC=φ. Имеем φ=π-β+γ2=π-π-α2=π2+α2.

2) Найдем RBIC=a2sinπ2+α2=a2cosα2.

3) Из четырехугольника HB1AC1 найдем BHC=C1HB1=π-α. Значит RBHC=BC2sinπ-α=a2sinα.

Ответ: RBIC=a2cosα2; RBHC=a2sinα.

Комментарии:

1) У множества α с заданным углом A=α общим элементом является угол BIC, образованный биссектрисами из вершин B и C. Он тупой: BIC=π2+α2.

2) Отметим равенство радиусов окружностей RABC=RBHC=a2sinα, описанных около треугольников ABC и BHC.

3) На рисунке 3 треугольник остроугольный. Рассмотрите случай тупоугольного, прямоугольного ABC.

Другие общие элементы

Они связаны с высотами AA1, BB1, CC1 и точкой H их пересечения. Это — длины отрезков B1C1, AH, длина радиуса RAB1C1 окружности, описанной около AB1C1.

Найдем эти элементы (выразим их через a и α). Для этого решим задачу.

В остроугольном треугольнике ABC сторона BC=a, угол BAC=α. Найти: а) B1C1, б) RAB1C1, в) AH.

Отрезок BC из точек B1 и C1 виден под одинаковым (прямым) углом. Значит около четырехугольника BCB1C1 можно описать окружность. Из точки A к ней проведены две секущие AB и AC, опирающиеся на диаметр BC=a. Свойства этой типовой геометрической конструкции вытекают из двух подобий:

AB1C1 ~ABC, ABB1 ~ACC1.

Докажите их, используя свойства вписанного четырехугольника:

{ABC=π-CB1C1AB1C1=π-CB1C1    AB1C1=ABC=β.

Из подобий получаем:

1) для задачи а)

B1C1BC=AB1AB, B1C1a=cosα, B1C1=acosα.

2) для задачи б)

RAB1C1=B1C12sinA=acosα2sinα, RAB1C1=12a ctg α.

3) для задачи в)

AH=2RAB1C1, AH=a ctg α.

Здесь учтено, что AH — диаметр описаний около четырехугольника AB1HC1 окружности.

Ответ:  а) B1C1=acosα, б) RAB1C1=12a ctg α, в) AH=a ctg α.

Рассмотрите случай треугольного ABC.

Комментарий. Любопытно, что коэффициент подобия AB1C1 и ABC оказался равным cosα:

B1C1BC=cosα

Рис. 4
Рис. 4

Экстремальные свойства треугольников из множества a;α

Из всех треугольников ABC с заданными стороной BC=a и углом A=α:

  • наибольшей площадью,
  • наибольшим радиусом,
  • наибольшим радиусом вписанной окружности

обладает равнобедренный ABC, в котором AB=AC.

Докажите эти свойства. Их иллюстрация на рис. 1.

Заключение

1) У множества треугольников a;α с заданными стороной BC=a и углом A=α выявлены и найдены (выражены через a, α) следующие общие элементы:

RABC, RBIC, RBHC, B1C1, RAB1C1, AH.

Это важно для многих экзаменационных задач.

2) Сформулированы некоторые экстремальные свойства треугольников из множества a;α.

Литература

1) Треугольник. Издательский педагогический центр «Гриф», Калуга — 2000. В. И. Голубев, К. К. Мосевич, В. С. Панфёров, В. А. Тарасов

2) Избранные задачи по геометрии. Окружность. Илекса, М., 2014. В. Б. Алексеев, В. С. Панфёров, В. А. Тарасов

Автор

Тарасов Валентин Алексеевич — кандидат технических наук, автор пособий по математике для школьников и учителей, лектор InternetUrok. ru (алгебра и геометрия, 7–11 классы).
Тарасов Валентин Алексеевич — кандидат технических наук, автор пособий по математике для школьников и учителей, лектор InternetUrok. ru (алгебра и геометрия, 7–11 классы).

Хотите получать уведомления о новых статьях в блоге? Подпишитесь на обновления.