Математика — это для всех! «Репетитор: математика»

Что общего между арксинусом, арифметическим корнем, логарифмом?

Что общего между арксинусом, арифметическим корнем, логарифмом?

Да то, что они почти родственники. А именно, такие важные понятия как «арксинус», «арккосинус», «арктангенс», «арккотангенс», «арифметический корень», «логарифм» являются частными случаями одного понятия — «аргумент монотонной функции». Конкретизируем сказанное.

Рис. 1
Рис. 1

Пусть y=fx, где xX — строго монотонная функция. Тогда каждое её возможное значение y0 достигается только при одном значении x0 аргумента (рис. 1). Это значение аргумента называют:

  1. Арксинусом числа y0, обозначают x0=arcsin y0, если (рис. 2,3)

    y=fx, где fx=sin x, x[-π2;π2] (1)
  2. Арккосинусом числа y0, обозначают x0=arccosy0, если

    y=fx, где fx=cosx, x[0;π]  (2)
  3. Арктангенсом числа y0, обозначают x0=arctg y0, если

    y=fx, где fx=tg x, x-π2;π2  (3)
  4. Арккотангенсом числа y0, обозначают x0=arcctgy0, если

    y=fx, где fx=ctgx, x0;π  (4)
  5. Арифметическим корнем n-ой степени (n=2, 3, ) из неотрицательного числа y0, обозначают x0=y0n, если

    y=fx, где fx=xn, x0, n=2,3,  (5)
  6. Логарифмом числа y0 при основании a, обозначают x0=logay0, если

    y=fx, где fx=ax, 0<a1  (6)

Каждое из перечисленных выше понятий (арксинус, арккосинус и др.) можно ввести, изучить по единому плану, привлекая функционально-графический метод. Поясним это на примере арксинуса.

Арксинус

Арксинус — это название аргумента функции (1). Приведем строгие определения.

Определение 1

Арксинусом числа y0 (обозначение arcsin y0) называется такое значение x0 аргумента функции (1), при котором её зависимая переменная равна y0 (рис. 2).

Рис. 2
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 3

Значит:

{arcsin y0=x0y0[-1;1]  {sin x0=y0x0[-π2;π2] (7)

Чтобы число x0 было арксинусом числа y0, необходимо и достаточно выполнение двух условий из (7):

x0[-π2;π2], sin x0=y0  (8)

Поэтому имеем равносильное определение 2.

Определение 2

Арксинусом числа y0 (обозначение arcsin y0 называется такое число x0, синус которого равен y0.

Определение 2 расшифровывает более сложный, новым символ «arcsin» через более простой, знакомый символ «sin» и поэтому полезно при решении задач.

Уяснить, понять смысл понятия «arcsin y0» помогает следующее его прочтение: арка, дуга (или её центральный угол) из отрезка [-π2;π2], синус которой равен y0.

Подчеркнем, символом x0=arcsin y0 мы лишь обозначили единственный на отрезке [-π2;π2] корень уравнения sin x=y0, y0[-1;1]. Найти же значения арксинусов можно по графику, тригонометрическому кругу, таблицам, по специальным методам, а проверить — по условиям (7) или (8).

Примеры

  • arcsin 12=π6, так как π6[-π2;π2], sin π6=12.
  • arcsin-1=-π2, так как -π2[-π2;π2], sin -π2=-1.
  • arcsin0,9π3;π2.

Итак, мы знаем, что такое арксинус, как его найти и проверить.

Свойства арксинуса

1) Арксинус (как и синус) обладает свойством нечетности:

arcsin-y=-arcsiny, y[-1;1] (9)

Оно вытекает, например, из нечетности синуса (sin-x=-sin x), из симметрии графика функции (1) относительно точки O 0;0.

Примеры

  • arcsin-22=-arcsin 22=-π4;
  • arcsin-32=-arcsin32=-π3

2)  Два основных тождества с арксинусом.

Единственный на отрезке [-π2;π2] корень уравнения sinx=y0 получил обозначение x0=arcsin y0. Значит, справедливы два тождества

sin x0=y0sinarcsin y0=y0, y0[-1;1]  (10)
arcsin y0=x0arcsinsin x0=x0, x0[-π2;π2]  (11)

Опустим индекс (он использован для наглядности, для связи с рис. 2). Получим тождества в общепринятом виде:

sinarcsin y=y, y[-1;1] (12)

arcsinsin x=x, x[-π2;π2] (13)

Итак, введено и изучено понятие «арксинус». Аналогично вводятся, изучаются остальные понятия, в том числе «логарифм». О нем — кратко.

Логарифм

Логарифм — это название аргумента показательной функции (6). Приведем строгие определения логарифма.

Определение 1

Логарифмом числа «y0» по основанию «a» (обозначение logay0) называется такое значение x0 аргумента функции (6), при котором она достигает значение y0:

logay0=x0, 0<a1y0=ax0, y0>0 (14)

Имеем равносильное определение.

Определение 2

Логарифмом числа «y0» по основанию «a» называется такой показатель степени, в которую возводится основание a, чтобы получить число y0.

Символом logay0 мы лишь обозначили единственный корень уравнения ax=y0. Численный же значения логарифмов находим по графику, таблицам, проверяем по условиям (14).

Примеры

  • log24=2, так как 4=22, 4=4;
  • log214=-2, так как 14=2-2, 14=14;
  • log23=1,585 — бесконечная десятичная непериодическая дробь (иррациональное число).

Корень уравнения ax=y0 обозначен x0=logay0. Значит, имеем основное логарифмическое тождество:

ax=y0alogay0=y0, y0>0, 0<a1.

Выводы

  1. Важные понятия «арксинус», «логарифм» и др. являются частными случаями одного понятия «аргумент монотонной функции». Поэтому их удобно вводить, изучать, осваивать с помощью единого функционально-графического метода. Сложные определения при этом вводятся наглядно, легче запоминаются, усваиваются.
  2. Достаточно использовать лишь монотонность прямых функций (1) — (6). Важное их свойство обратимости пока можно не использовать, чтобы не перегружать изложение, усвоение объективно сложного материала.
  3. На следующем шаге, при введении обратных функций y=arcsinx, y=logax и др.) также полезен функционально-графический метод.
  4. Обзор основных понятий (арксинус, логарифм и др.), обратных функций целесообразен хотя бы при заключительном повторении курса алгебры. Соответствующие разделы следует включить в учебники, пособия.

Литература

1. В. А. Тарасов. Обратные функции. Теория и задачи. М. Илекса 2017. (Учебное пособие).

Автор

Тарасов Валентин Алексеевич — кандидат технических наук, автор пособий по математике для школьников и учителей, лектор InternetUrok. ru (алгебра и геометрия, 7–11 классы).
Тарасов Валентин Алексеевич — кандидат технических наук, автор пособий по математике для школьников и учителей, лектор InternetUrok. ru (алгебра и геометрия, 7–11 классы).

Хотите получать уведомления о новых статьях в блоге? Подпишитесь на обновления.