Математика — это для всех! «Репетитор: математика»

Как решать неравенства?

Как решать неравенства?

Равносильные преобразования

Решать неравенства следует только равносильными, или эквивалентными преобразованиями, т. е. такими, которые не искажают искомое множество решений неравенства. Почему?

Уравнение fx=gx часто имеет несколько решений. Их можно проверить подстановкой, отсечь посторонние решения и этим обосновать ответ.

Неравенство fxgx (где символ “” означает «>», «<», «» или «») имеет, как правило, бесконечное множество решений.

Перебор, проверка каждого отдельного решения невозможны. Кто же даст гарантию, что в процессе решения мы не исказили множество (море) решений неравенства, например, не добавили в него лишнюю каплю? Такую гарантию, обоснование ответа дадут лишь равносильные (эквивалентные) преобразования.

Напомним важнейшие из них:

1. Перенос слагаемого в другую часть неравенства с изменением знака слагаемого;

2. Прибавление к обеим частям неравенства одинаковых чисел;

3. Использование основного свойства дроби;

4. Умножением обеих частей неравенства на положительное (отрицательное) число, сохранив (изменив) знак неравенства.

Решая неравенство важно следить за его ОДЗ (область допустимых значений).

Типовая ошибка

Неравносильные преобразования могут привести к катастрофе. Приведем предельно простой, но поучительный пример.

Решить неравенство 1x1.

Неверное решение.

Найдем ОДЗ: x0.

Умножим обе части неравенства на x0.

Получим 1x.

Ответ:  x[1;+)

Ответ не верен: пропущено бесчисленное множество решений, например x=-10, x=-11. Почему же мы заблудились даже не в трех, а в двух соснах — преобразованиях? Почему допустили грубую типовую ошибку? Потому, что использовали неравносильное преобразование — умножение обеих частей неравенства на неизвестное «x», не заботясь о его знаке. Но если x>0, знак неравенства сохраняется, если x<0 — он изменяется!

Рекомендация

Подтверждается простой, но очень важный вывод. При решении неравенства:

1. обе его части нельзя умножать (делить) на неизвестное x ли на выражение hx, если неизвестен знак x или hx;

2. знаменатель c x или hx следует беречь, не отбрасывать (последнее допустимо при решении уравнения).

Почувствуем разницу: умножение обеих частей уравнения на x0 или на hx0 не ведет к катастрофе.

Пример

1x=1    {x01=x    x=1.

Ответ x=1 верен.

Методика

Так как же решать неравенство fxgx?

Сформулируем общую методику, пригодную почти всегда:

1. Эквивалентными преобразованиями привести неравенство к виду Fx0

fxgxFx0

где выражение Fx следует предельно упростить, учесть все возможные изменения ОДЗ.

2. Неравенство Fx0 решить методом интервалов, в а более сложных случаяx — методом замены множителей или методом перебора ОДЗ [1-3].

Пример

Поясним методику верным решением предыдущего неравенства 1x1.

Имеем:

1) 1x1  1x-10  1-xx0;

2) Полученное неравенство вида Fx0 (где Fx=1-xx) решаем методом интервалов, а именно, выделяем интервалы знакопостоянства функции Fx, определяем знаки функции на них (рис. 1) и выписываем.

Рис. 1
Рис. 1

Ответ: x-;0[1;+).

Обсуждение

Восхитимся мощью метода интервалов: знак функции Fx только в одной точке интервала 1;+, например, в точке x=2 (F2<0), определяет знак функции Fx на всем интервале!

Кривая y=Fx:

  • лежит под осью «x» при всех x-;01;+;
  • лежит над осью «x» при всех x0;1.

Все это позволяет получить эскиз графика функции F по её интервалам знакопостоянства. Позволяет уточнить кривую y=Fx по интервалам знакопостоянства её производных F'x, F''x. Они определяют соответственно интервалы монотонности и выпуклости функции F. Словом, впору петь гимн интервалам знакопостоянства функции.

Столь щедрые подарки мы получаем из важнейшего свойства всех изучаемых нами функций F: каждая из них непрерывна в своей области определения.

Поэтому метод интервалов — своеобразная «палочка-выручалочка» для решения почти всех неравенств.

Выводы

  1. Подтверждена специфика неравенства: наличие, как правило, бесконечного множества решений, и как следствие, необходимость применять именно равносильные преобразования при решении неравенства.
  2. Проиллюстрированы типовые ошибки от применения неравносильных преобразований, а именно — от умножения обеих частей неравенства на неизвестное x или на выражение hx без учета их знака. Рекомендовано «беречь» знаменатель, зависящий от x, не отбрасывать его (что в ОДЗ допустимо при решении уравнения).
  3. Сформулирована в общем виде методика решения неравенства.

Литература

  1. Голубев В. И. Решение сложных и нестандартных задач по математике – М.: Илекса, 2004.
  2. Дорофеев Г. В. Алгебра и начала анализа: учебник, 11 класс – М.: Дрофа, 2007 (п.9.1.3 «Рационализация неравенств»).
  3. Тарасов В. А. Обратные функции. Теория и задачи. Учебное пособие – М.: Илекса, 2017.

Автор

Тарасов Валентин Алексеевич — кандидат технических наук, автор пособий по математике для школьников и учителей, лектор InternetUrok. ru (алгебра и геометрия, 7–11 классы).
Тарасов Валентин Алексеевич — кандидат технических наук, автор пособий по математике для школьников и учителей, лектор InternetUrok. ru (алгебра и геометрия, 7–11 классы).

Хотите получать уведомления о новых статьях в блоге? Подпишитесь на обновления.