Математика — это для всех! «Репетитор: математика»

Новое доказательство теоремы о многочлене

В статье приводится новое доказательство красивой и трудной теоремы математического анализа, изложенное таким образом, что оно доступно учащимся старших классов профильных математических школ.

Теорема

Пусть fx — бесконечно много раз дифференцируемая действительная функция, причем для каждой точки xR найдется натуральное n такое, что fnx=0. Тогда fx многочлен.

Доказательство

Нам понадобится теорема Бэра о системе замкнутых множеств:

1. Пусть H и F1, F2, , Fn,  замкнутые подмножества прямой, причем H и HnFn. Тогда в H найдется точка, которая содержится в одном из Fn вместе со своей окрестностью. Более точно, найдется точка xH, натуральное n и ε>0 такие, что x-ε; x+εHFn.

Действительно (от противного), выберем точку x1H и окружим ее окрестностью Δ1=x-ε1; x+ε1, где ε1<1. Мы предположили, что утверждение теоремы Бэра не верно. Значит Δ1HF1. Выберем в Δ1H точку x2F1. Окружим x2 интервалом Δ2=x2-ε2; x2+ε2 таким, что концы этого интервала — точки x2-ε2 и x2+ε2 лежат в Δ1, а ε2<12. По предположению Δ2HF2. Это позволяет выбрать в Δ2H некоторую точку x3F2, ... Продолжая процесс, мы построим вложенную стягивающуюся последовательность интервалов Δ1Δ2... Ясно, что

x1-ε1<x2-ε2<<xn-εn (1)
x1+ε1<x2+ε2<<xn+εn (2)

Так как каждый промежуток ΔiH, то

limixi-εi=limixi+εi=y, yH, а из (1) и (2) следует, что yΔi для каждого i. Таким образом мы нашли точку yH, но не лежащую ни в одном из множеств Fi i=1, 2, .

Скажем, что точка на действительной прямой правильная, если в некоторой окрестности этой точки функция fx — многочлен. Множество всех правильных точек обозначим символом E. Множество E', дополнительное к E обозначим через F и назовем множеством неправильных точек. (Будем говорить, что если xF, то x — неправильная точка).

2. Если каждая точка отрезка [a;b] правильная, то сужение fx на [a;b] — многочлен.

Действительно, для каждой точки t[a;b] найдется интервал такой, что сужение fx на этот интервал — многочлен. Т. е. для каждой точки найдется интервал и некоторое натуральное n, что fnx равна нулю на этом интервале.

Из компактности отрезка [a;b] следует, что найдется такое натуральное m, что fmx=0 всюду на [a;b], следовательно fx — многочлен.

3. Если каждая точка полуинтервала [a;b) правильная, то сужение fx на [a;b) — многочлен.

Доказательство. Рассмотрим возрастающую последовательность a=a1<a2<a3<<an< такую, что an сходится к b. По доказанному в предыдущем пункте на каждом из отрезков [a1;a2], , [a1;an],  сужение fx — многочлен. Пусть Pkx — многочлен, совпадающий с fx на отрезке [a1;ak+1]. Ясно, что Pkx=P1x для всех k=2, 3,  Поэтому P1x совпадает с fx на [a;b), значит и в точке b. (Напомним, что P1x и fx непрерывны всюду на R).

Аналогично предыдущему легко доказать, что:

4. Если каждая точка полуинтервала (a;b] или интервала a;b — правильная, то fx — многочлен на [a;b].

Приступим к исследованию неправильных точек, т. е. точек множества F.

5. Множество F не содержит изолированных точек.

Действительно. Пусть aF — изолированная точка. Тогда для некоторого ε>0 [a-ε;a) и (a;a+ε] состоят из правильных точек. Значит, сужение fx на [a-ε;a] и на [a;a+ε] многочлены. Ясно, что при достаточно большом n (n должно быть больше степеней каждого из этих многочленов) fnx будет равна нулю всюду на [a-ε;a+ε]. Т. е. a является правильной точкой.

6. Пусть множество F неправильных точек не пусто. Положим En={x:fnx=0}. Ясно, что FnEn и каждое En замкнуто. Из теоремы Бэра (см. 1.) следует, что найдется интервал a;b такой, что a;bF0 и a;bF лежит в одном из En.

Рассмотрим функцию fnx. Эта функция равна нулю в каждой точке xFa;b. Так как каждая неправильная точка является предельной для множества F, то fn+kx=0 для всех целых k0 и всех xa;bF.

Докажем, что fnx равна 0 всюду на a;b. Пусть не так. Тогда найдется ca;b такая, что fnc0. Так как множество F не пусто и замкнуто, то найдем в нем точку d, ближайшую к c. Для определенности положим d<c. Функция gx=fnx бесконечно много раз дифференцируема на [d;c], gd=0 и все производные gnd=0. Так как gc0, то по теореме о конечных приращениях Лагранжа gnx не может быть равна нулю всюду на d;c ни для одного натурального n.

Автор

Слободник Семён Григорьевич, разработчик контента для приложения «Репетитор: математика», кандидат физико-математических наук, учитель математики школы 179 г. Москвы

Хотите получать уведомления о новых статьях в блоге? Подпишитесь на обновления.